定理 は 位 数 2 の 元 について は 何 の 有益 な 情報 も もたらさ ない 、 なぜ なら ば φ ( 2 ) = 1 で ある から で 、 d = 6 の よう な 合成 数 d に対する 限ら れ た 有用 性 しか ない 、 なぜ なら ば φ ( 6 ) = 2 だ から だ 、 そして S 3 に 位 数 6 の 元 は 0 個 存在 する 。

原始 元 の 定理 は 例えば すべて の 代数 体 、 すなわち 有理数 体 Q の すべて の 有限 拡大 は 単 拡大 で ある こと を 保証 する 。

例えば 多項式 の 方程式 が 解 の 公式 を もつ ため の 必要 十 分 条件 を 与える { 仮 リンク | アーベル の 定理 | fr | Théorème d ' Abel } を 伴う 代数 方程式 の 理論 を 述べる こと が できる 。

フェルマー の 最終 定理 を 多く の パラメーター の 値 に対して 証明 できる Ernst Kummer ( 1810 - 1893 ) の 理論 の よう な 数 論 における たくさん の 応用 も また 述べる こと が できる 。

この 対応 は { 仮 リンク | 射影 零 点 定理 | en | projective Nullstellensatz | FIXME = 1 } として 知ら れ て いる 。

アレクサンドル ・ グロタンディーク ( Alexander Grothendieck ) は 、 1950 年代 中期 に K - 理論 を リーマン・ロッホ の 定理 に 非常 に 広い 一般 化 を 述べる ため の フレーム ワーク として 発見 し た 。

解析 的 整数 論 は 、 ペーター・グスタフ・ディリクレ ( Peter Gustav Lejeune Dirichlet ) による ディリクレ の L - 函数 を 使い 、 算術 級数 定理 を 証明 する ため に 、 最初 に 導入 さ れ た { sfn | Apostol | 1976 | p = 7 }{ sfn | Davenport | 2000 | p = 1 }。

（ ゴールド バッハ 予想 や ウェア リング の 問題 の よう な { 仮 リンク | 加法 的 整数 論 | en | Additive number theory }( Additive number theory ) や 素数 定理 や リーマンゼータ 函数 を 含む ） 素数 に関する 結果 が 知ら れ て いる 。

この 注目 す べき 結果 は 、 現在 、 素数 定理 として 知ら れ て いる 。

素数 定理 は 解析 的 整数 論 の 中心 的 な 結果 で ある 。

大まか に 言う と 、 素数 定理 は 、 与え られ た 大きな 数 N に対し 、 N 以下 の 素数 の 数 は 、 およそ N / log ( N ) で ある という 定理 で ある 。

( iii ) グリーン ・ タオ の 定理 は 任意 の 長 さ の 素数 の 算術 級数 の 存在 を 示し て いる 。

留 数 定理 によって C について の 積分 は 2 π i と 留 数 の 和 の 積 で ある 。

ルーシェ の 定理 の 証明 は 偏 角 の 原理 を 使う 。

Frank Smithies の 本 ( Cauchy and the Creation of Complex Function Theory , Cambridge University Press , 1997 , p . 177 ) に よる と 、 Augustin - Louis Cauchy は フランス から 逃げ て （ 当時 the Kingdom of Piedmont - Sardinia の 首都 だっ た ） Turin に 自ら 亡命 し て い た 間 1831 年 11 月 27 日 に 上記 と 類似 の 定理 を 発表 し た 。

コーシー による この 定理 は かなり 後 に なっ て 1974 年 に 手書き の 形式 で 出版 さ れ た だけ で あり かなり 読む の が 難しい 。

原始 元 定理 は すべて の 有限 分離 拡大 が 単 拡大 で ある こと を 保証 する 。

原始 元 の 定理 は すべて の 有限 次 分離 拡大 が 単 拡大 で ある こと を 保証 する 。

体 論 の 基本 的 な 定理 の 1 つ は 、 P ( X ) が K 上 の 既 約 多項式 で あれ ば 、 商 環 A = K [ X ]/( P )、 ただし ( P ) は K [ X ] において P で 生成 さ れる イデアル 、 は 体 で ある という もの で ある 。

回転 数 は 複素 解析 学 全般 で 非常 に 重要 な 役割 を 果たす （ cf . 留 数 定理 の ステートメント ） 。