ある 写像 や マルコフ 過程 の 不変 測度 の 存在 は 、 クリロフ ＝ ボゴリューボフ の 定理 によって 証明 できる 。

1959 年 の ヤコフ ・ シナイ の 定理 で は 、 上限 は 実際 に は 生成 素 で ある よう な 分割 について 得 られる こと が 示さ れ た 。

関数 解析 において 、 { 仮 リンク | 開 写像 定理 ( 函数 解析 )| label = 開 写像 定理 | en | Open mapping theorem ( functional analysis )| FIXME = 1 } は 次 の よう に 述べ て いる 。

複素 解析 において 、 同じ 名前 の { 仮 リンク | 開 写像 定理 ( 複素 解析 )| label = 開 写像 定理 | en | Open mapping theorem ( complex analysis )} は 次 の よう に 述べ て いる 。

対義語 非 自明 な ( nontrivial ) は 明らか で は ない または 証明 する の が 易しく ない ステートメント や 定理 を 指し示す ため に エンジニア や 数学 者 によって よく 使わ れる 。

n = 0 あるいは n = 1 の よう な 特定 の 最初 の 値 に対して 定理 が 正しい こと を 示す " base case " と 、 それから n の ある 値 に対して 定理 が 正しい なら ば 値 n + 1 に対して も また 正しい こと を 証明 する inductive step で ある 。

タレス の 定理 （ タレス の て いり 、 Thales ' theorem ） と は 、 直径 に対する 円周 角 は 直角 で ある 、 つまり 、 A , B , C が 円周 上 の 相 異なる 3 点 で 、 線分 AC が 直径 で ある とき 、 ∠ ABC が 直角 で ある という 定理 で ある 。

ターレス の 定理 、 タレース の 定理 と も いう 。

タレス の 定理 は 円周 角 の 定理 の 特例 の 1 つ で も ある 。

これ は 曲面 に対する 一意 化 定理 や 、 ペレ ルマン によって 証明 さ れ た 3 次元 多様 体 に対する 幾何 化 定理 の 帰結 で ある 。

n > 2 に対し 、 双 曲 n - 次元 多様 体 の 有限 体積 上 の 双 曲 構造 は 、 モス トウ の 剛性 定理 によって 一意 で あり 、 したがって 幾何 的 不変 性 は 位相 的 不変 性 で ある 。

これ は { 仮 リンク | ハーケン 多様 体 | en | Haken manifold } に対する 彼 の 有名 な { 仮 リンク | 双 曲 化 定理 | en | hyperbolization theorem } の 一部 で ある 。

リーマン 幾何 学 において 、 リーマン 幾何 学 の 基本 定理 ( fundamental theorem of Riemannian geometry ) は 、 任意 の リーマン 多様 体 （ あるいは 、 擬 リーマン 多様 体 ） に は 、 一意 に { 仮 リンク | 捩れ ( 微分 幾何 学 )| label = 捩れ の ない | en | torsion ( differential geometry )}( torsion - free ) 計量 { 仮 リンク | アフィン 接続 | label = 接続 | en | affine connection }( connection )、 与え られ た 計量 の レヴィ・チヴィタ 接続 ( Levi - Civita connection ) と いわ れる 計量 が 存在 する という 定理 で ある 。

さらに 、 詳しく は 、 リーマン 幾何 学 の 基本 定理 ：( M , g ) を リーマン 多様 体 （ あるいは 、 擬 リーマン 多様 体 ） と する と 、 一意 に 次 の 条件 を 満たす 接続 ∇ が 存在 する 。

基本 定理 の 拡張 は 、 擬 リーマン 多様 体 が 与え られる と 、 一意 に 接続 が 存在 し 、 任意 の ベクトル 値 2 - 形式 を 持つ 計量 テンソル を 捩れ として 保存 する という 定理 と なる 。

数学 の 分野 で ある トポロジー と K - 理論 において 、 セール ・ スワン の 定理 ( Serre – Swan theorem )、 あるいは スワン の 定理 ( Swan ' s theorem ) は 、 ベクトル 束 の 幾何 的 な 概念 を 射影 加 群 の 代数 的 概念 に 関係 づけ 、 数学 の いたる ところ で 共通 の 直感 を 生じる ： " 可 換環 上 の 射影 加 群 は コンパクト 空間 上 の ベクトル 束 の よう で ある "。

定理 の 2 つ の 正確 な 定式 化 は 多少 異なる 。

1955 に ジャン ・ ピエール ・ セール ( Jean - Pierre Serre ) によって 述べ られ た もと の 定理 は 本質 的 により 代数 的 で あり 、 （ 任意 標 数 の ） 代数 的 閉体 上 の 代数 多様 体 上 の ベクトル 束 に 関係 する 。

スワン の 定理 は この 加 群 が C ∞( M ) 上 有限 生成 かつ 射影 で ある と 述べ て いる 。

定理 は 自明 束 M × Cn から V の 上 へ の 束 全 射 を 構成 する こと によって 証明 できる 。