スワン ( Swan ) の 定理 は 関 手 Γ が 圏 同値 で ある こと を 主張 する 。

シュワルツ の 定理 は これ が 起こる { mvar | f } について の 十分 条件 を 与える 。

（ { math | n {{=} 2 , i {=} 1 , j {=} 2 }} の 場合 に 、 これから 直ちに 一般 の 結果 が 従う が ） この 定理 を 証明 する 簡単 な 方法 として 、 1 つ に は グリーン の 定理 を { mvar | f } の 勾配 に 適用 する 方法 が ある 。

関数 が クレロー の 定理 の 仮定 を 満たさ ない 場合 、 例えば 導 関数 が 連続 で ない とき 、 偏 導 関数 の 対称 性 は 成り立た ない こと が ある 。

彼ら は エータ 不 変量 を 使っ て 、 境界 を 持つ 多様 体 の ヒルツェブルフ の 符号 定理 を 拡張 し た 。

ハート マン ＝ グロブマン の 定理 に よる と 、 双 曲 型 平衡 点 の ある 近傍 における 力学 系 の 軌道 構造 は 、 線型 化 力学 系 の 軌道 構造 と 位相 共役 と なる 。

（ コンパクト 位相 空間 の 任意 の 集まり の { 仮 リンク | 積 位相 空間 | label = 積 | en | product ( topology )} は コンパクト で ある こと を 述べる ） チコノフ の 定理 は パラコンパクト 空間 の 積 は パラコンパクト で ある と は 限ら ない という 点 で パラコンパクト 空間 に 一般 化 し ない 。

大雑把 に 言う と 、 この 定理 で は 、 すべて の 擬軌 道 （ 各 ステップ 毎 に 丸め誤差 を 含む 、 数値 的 に 計算 さ れ た 軌道 と 考える こと が 出来る ） は （ わずか に 初期 値 が 変動 さ れ た ） ある 真 の 軌道 に 一様 に 近い 所 で 留まる こと が 示さ れ て いる 。

ノルム 剰余 同型 定理 は 、 同型 の 片側 の 対象 を もう ひとつ の 側 の 対象 へ 適用 する テクニック へ 応用 する こと と 可能 と し た 。

2003 年 に は 、 またもや 、 ヴォエヴォドスキー が ウェブ 上 に 、 一般 的 な 定理 の 証明 を ほぼ 含ん だ もの プレ プリント を 公開 し た 。

閉曲 面 の 分類 定理 ( classification theorem of closed surfaces ) は 、 すべて の 連結 な 閉曲 面 は 、 以下 の 3 つ の 族 の うち の ひとつ に 同相 で ある という 定理 で ある 。

一意 化 定理 は 、 すべて の 単 連結 な リーマン 面 は 、 次 の 3 つ の うち の どれ か ひとつ と 共 形 同値 で ある という 定理 で ある 。

幾何 化 予想 は 、 2 次元 曲面 の 一意 化 定理 の 類似 で あり 、 一意 化 定理 は すべて の 単 連結 な リーマン 面 は 3 つ の 幾何 学 （ ユークリッド 幾何 学 、 球面 幾何 学 、 双 曲 幾何 学 ） の うち の ひとつ と なる という 定理 で ある 。

最初 の 例 は 、 1980 年代 始め に { 仮 リンク | ミハイル・フレードマン | en | Michael Freedman | FIXME = 1 }( Michael Freedman ) により 、 位相 4 次元 多様 体 について の フリードマン の 定理 と 滑らか な 4 次元 多様 体 について の サイモン・ドナルドソン ( Simon Donaldson ) の 定理 を 対比 する こと で 発見 さ れ た 。

多く とも 次元 が 3 の 低 次元 における 方法 により 証明 する こと の でき 、 少なくとも 次元 5 以上 の 完全 に 高い 次元 の 方法 により 証明 できる 多様 体 の 基本 定理 が いくつ か ある が 、 次元 4 で のみ 、 成立 し ない 定理 が ある 。

高 次元 多様 体 の 研究 に 有効 な 使わ れる ツール で あっ て も 、 低 次元 多様 体 へ 適用 でき ない 定理 が あり 、 その いくつ か を 挙げる 。

たとえば 、 スティンロッド の 定理 ( Steenrod ' s theorem ) は 、 向き つけ られ た 3 次元 多様 体 は 接 バンドル を 持つ という 定理 で ある 。

この 定理 は 何 人 か の 人 により 独立 に 示さ れ た 。

この 定理 は 、 Dehn ( Dehn )–{ 仮 リンク | リコリッシュ | en | W . B . R . Lickorish | FIXME = 1 }( Lickorish ) の 定理 と 呼ば れる 3 次元 多様 体 の { 仮 リンク | ヒーガード 分解 | en | Heegaard splitting }( Heegaard splitting ) を通して 得 られる 。

エレガント な 証明 が すぐ 後 に ヘルムート・クネーザー ( Hellmuth Kneser ) によって 提出 さ れ 、 全く 異なる 証明 が ギュスタヴ・ショケ ( Gustave Choquet ) によって 1945 年 に 、 明らか に 定理 が 既に 知ら れ て い た こと に 気付か ず に 、 発見 さ れ た 。