シャルコフスキー の 定理 で 示さ れ て いる の は 、 各 周期 を 持つ サイクル の 存在 で あり 、 それら が 安定 で ある と は 示さ れ て い ない 。

シャルコフスキー の 定理 は 、 他 の 位相 空間 上 の 力学 系 に 直ちに 応用 できる もの で は ない 。

最初 の 定理 は 、 連続 微分 可能 ( C 1 ) 埋め込み で あり 、 第 二 は 、 解析 的 な 埋め込み と 、 滑らか な 函数 に対する クラス Ck , 3 ≤ k ≤ ∞ に対して の 埋め込み に関して で ある 。

これら の 2 つ の 定理 は 、 互いに 非常 に 異なっ て いる 。

第 一 の 定理 は 、 証明 が 非常 に 容易 で あり 、 非常 に 反 直感 的 な 結果 を 導く が 、 一方 、 第 二 の 定理 の 証明 は 非常 に テクニカル で ある が 結果 は 驚く よう な もの で は ない 。

定理 ( M , g ) を リーマン 多様 体 と し 、 ƒ : Mm → Rn を ユークリッド 空間 Rn の 中 へ の { 仮 リンク | 短い 写像 | label = 短い | en | short map }( short ) C ∞- 埋め込み 写像 と する （ n ≥ m + 1 ） と 、 任意 の ε > 0 に対し 埋め込み ƒ ε : Mm → Rn が 存在 し 、 この 埋め込み は 、 以下 と なる 。

特に 、 { 仮 リンク | ホイットニー 埋め込み 定理 | en | Whitney embedding theorem }( Whitney embedding theorem ) に 従う と 、 任意 の m - 次元 リーマン 多様 体 は 、 2 m - 次元 ユークリッド 空間 の 任意 の 小さな 近傍 の 中 へ の 等 長 な C 1 - 埋め込み で ある 。

これ は { 仮 リンク | Gaussian period | en | Gaussian period } の 理論 （{ 仮 リンク | ヒルベルト・シュパイザー の 定理 | en | Hilbert – Speiser theorem }） から 分かる 。

すると ネーター の 定理 は 、 順 分岐 は OL が Z [ G ] 上 射影 加 群 で ある ため に 必要 かつ 十分 で ある と 述べ て いる 。

この こと は クロネッカー・ウェーバー の 定理 を 使っ て アーベル 体 を 円 分 体 に 埋め込む こと で 分かる 。

例えば 、 L が 代数 体 K の ガロワ 拡大 で あれ ば 、 L の 整数 環 OL は L / K の ガロワ 群 に対して OK 上 の ガロワ 加 群 で ある （ { 仮 リンク | ヒルベルト・シュパイザー の 定理 | en | Hilbert – Speiser theorem } 参照 ） 。

{ 仮 リンク | 回転 数 に関する ダンジョワ の 定理 | label = ダンジョワ の 定理 | en | Denjoy ' s theorem on rotation number } に 従う と 、 回転 数 { math | θ } が 無理 数 で ある よう な 円 板 の 向き 付け 保存 { math | C 2 }- 微分 同相 写像 は すべて 、 { math | T θ } と 位相 共役 で ある 。

数学 で は 、 クロネッカー の 定理 ( Kronecker ' s theorem ) は 、 レオポルト・クロネッカー ( Leopold Kronecker ) の 名前 に 因ん だ 2 つ の 定理 の うち の いづれ か で ある 。

元々 の クロネッカー の 定理 ( レオポルト・クロネッカー , 1884 ) は 、 と なる χ の 核 の 交叉 として 、 の 閉包 を 記述 する 。

ジーゲル の 定理 で は 、 ある 「 強 無理 性 条件 」 （ ディオファントス 条件 ） を 満たす 無理 数 に対する ジーゲル 円 板 の 存在 が 示さ れ た 。

ボルン ＝ フォン・カルマン 境界 条件 の 課さ れ た 周期 函数 として の 結晶 の ポテンシャル を モデル 化 し 、 シュレーディンガー 方程式 に 適用 する こと で 、 結晶 の バンド 構造 を 理解 する 上 で 特に 重要 な ブロッホ の 定理 の 証明 を 導く こと が 出来る 。

数学 において 、 アレクサンダー の 定理 ( Alexander ' s theorem ) は 、 すべて の 結び目 、 あるいは 絡み 目 は 閉じ た ブレイド として 表現 する こと が できる という 定理 で ある 。

定理 の 命名 は 、 { 仮 リンク | ジェームズ ・ アレクサンダー | en | J . W . Alexander }( J . W . Alexander ) に 因ん で いる 。

この パワー の 系 全体 で の 和 が 0 に なる という テレゲン の 定理 も 成り立つ 。

invariant basis number の 条件 の 主たる 目的 は 、 IBN 環 上 の 自由 加 群 は { 仮 リンク | ベクトル 空間 に対する 次元 定理 | en | dimension theorem for vector spaces } の 類似 を 満たす こと で ある 。