その 中 に は 我々 にとって 差し当たり 興味 の ない 証明 も 混ざる だろ う （ NthProof が 枚挙 する 証明 の 中 に は 例えば 平方 剰余 の 相互 法則 の 証明 、 フェルマー の 小 定理 の 証明 、 フェルマー の 最終 定理 の 証明 など 、 様々 な 既知 の 証明 を S 内 の 形式 的 言語 に 翻訳 し た もの が 現れる だろ う ） 。

任意 の 正 の 整数 は 、 1 つ 以上 の 連続 し ない 相 異なる フィボナッチ 数 の 和 として 一意 に 表す こと が できる （ ゼッケンドルフ の 定理 ） 。

なお 、 定理 が 成り立つ ため に は ∂ V が 区分 的 に C 1 級 で あれ ば 十分 で ある 。

この 定理 は div という 演算 が 発散 （ あるいは 湧出 量 ） と 呼ば れる 所以 で も ある 。

この 定理 は 、 一般 的 な ストークス の 定理 から 導く こと が できる 。

ベルヌーイ の 定理 を 利用 し た テクニック で 、 ミステリームーヴ と 呼ば れる 水中 下 へ の 動き を 可能 に する 。

一般 の 人 に よく 知ら れ て いる の は 哲学 より も 、 中学校 の 数学 の 教科書 に 必ず 出 て くる ターレス の 定理 で あろ う 。

これ は 「 半円 に 内接 する 角 は 直角 で ある 」 という 定理 で ある 。

タレス 自身 が 円周 上 の 点 と 円 の 中心 を 結び 、 2 つ の 二等辺三角形 を 作っ て この 定理 を 証明 し た ため に 、 この 名前 が つい た と いう 。

ちなみに 「 ターレス の 定理 」 と よば れる もの は 5 つ ある 。

円 や 直線 について の 情報 を 含ま ない 、 相 異なる 点 だけ の 情報 から なる データ から 定規 と コンパス のみ で 作図 できる よう な もの は 、 実は コンパス のみ で 作図 可能 で ある という モール - マスケローニ の 定理 が 知ら れ て いる 。

たとえば 定規 のみ を 使っ て 平方根 を 得る こと は 不可能 で あり 、 同様 に 定規 のみ で 作図 でき ない もの が コンパス を 使っ て 作図 さ れる という こと に なる が 、 ポンスレー - スタイナー の 定理 に よれ ば 、 （ 最初 の データ の 中 に ） 一つ の 円 と その 中心 が 与え られ て いれ ば 実は 作図 できる 。

この 作図 は エウクレイデス （ ユークリッド ） の 『 原論 』 が 扱っ て いる 幾何 学 の 範囲 を 超える もの で あり 、 エウクレイデス の 幾何 学 で は neusis に関する 公理 も 定理 も そもそも その 存在 さえ も 扱わ れ て おら ず 、 したがって それ を つかっ た 作図 も する こと は でき ない 。

現在 で は 、 フェルマー の 最終 定理 を 証明 し た こと で 著名 な 数学 者 で ある アンドリュー ・ ワイルズ 教授 が 教鞭 を 執っ て いる こと でも 有名 。

ユークリッド 原論 第 １ ３ 巻 の 定理 １ ７ において は 、 立方体 の 一辺 を 対角線 の 一つ と する 五角形 の ひさし を かける こと によって 、 この 五角形 が 等辺 ・ 同 一 平面 ・ 等角 で ある こと が 証明 さ れ て いる 。

ニュートン は 、 自ら が 導い た 定理 と 、 空気 ・ 雨水 ・ 水銀 の 比重 、 さらに 振り子 を 振っ た とき の 周期 を 利用 し て 、 実際 に 音速 を 計算 し た 。

直交 軸 の 定理 と は 、 剛体 が 薄い 平板 の 時 、 この 平面 で の 互いに 直交 する 軸 の 周り の 慣性 モーメント の 和 は 、 2 つ の 軸 の 交点 で 面 に 直交 する 軸 の 周り の 慣性 モーメント に 等しく なる という 定理 で ある 。

という 定理 で ある 。

ユークリッド 幾何 学 （ 原論 ） において 、 これら は それぞれ 定理 として 証明 さ れ て いる 。

一方 、 ヒルベルト による 幾何 学 の 公理 化 において も 、 これら は それぞれ 定理 として 証明 さ れ て いる が 、 二 辺 夾角 相等 に関して は 、 これ に 非常 に 近い 公理 が 用い られ 証明 さ れ て いる 。