この よう な 状態 を 維持 する ため に 、 銀河 群 は ビリ アル 定理 で 示さ れる よう に 飛び出さ ない 程度 の 速度 を 保ち 、 重力 で 繋がっ て い なけれ ば なら ない 。

これ は グラフ 理論 （ 一筆 書き ・ オイラー の 多面体 定理 ・ 四 色 定理 など 、 つながり 具合 に関する 理論 ） の 一 種 という 側面 を 持つ 。

ここ の 講義 の 中 で 、 彼 は 代数 方程式 の 実数 解 の 個数 に関する フーリエ の 定理 を 証明 し た 。

フーリエ は 著書 『 熱 の 解析 的 理論 』 において 、 「 任意 の 関数 は 、 三角 関数 の 級数 で 表す こと が できる 」 （ フーリエ の 定理 ） と 主張 し た 。

（ ボヤイ の 定理 ） 辺 の 数 が 同数 の 二つ の 多角 形 P , P ' が ある と する 。

第 一同 型 定理 によって 、 & fnof ; による A の 像 は A の この 合同 による 商 に 同型 な B の 部分 構造 で ある 。

ゲーデル の 不完全性 定理 （ ゲーデル の ふかん ぜん せい て いり 、 Gödelscher Unvollständigkeitssatz ） 又は 単に 不完全性 定理 と は 、 数学 基礎 論 における 重要 な 定理 の 一つ で 、 クルト ・ ゲーデル が 1930 年 に 証明 し た もの で ある 。

ゲーデル の 定理 で いう 証明 不能 命題 G は 、 「 G は 証明 でき ない 」 という 命題 と 同値 で ある 。

よって ω 無 矛盾 で あれ ば 、 G も ￢ G も 証明 でき ない （ 第 一 不完全性 定理 ） 。

この こと から 、 自然 数 論 における 真理 性 は 自然 数 論 の 中 で は 表現 でき ない こと が 示さ れる （ タルスキ の 定理 ） 。

「 自然 数 論 で 矛盾 が 証明 でき ない 」 と 自然 数 論 で 証明 できれ ば 、 第 一 不完全 定理 で の 議論 中 の ( B ) より 「 G が 証明 でき ない 」 と 証明 できる 。

しかし 、 「 G が 証明 でき ない 」 と は G と 同値 で ある から 、 G も 証明 さ れる こと と なり 、 そこ から 第 一 不完全 定理 で の 議論 中 の （ A ) により 、 矛盾 が 証明 さ れる 。

したがって 自然 数 論 が 無 矛盾 、 すなわち 自然 数 論 で 矛盾 が 証明 さ れ ない なら ば 、 その こと 自体 も 自然 数 論 で は 証明 でき ない （ 第 二 不完全性 定理 ） 。

ゲーデル の 定理 は 「 自然 数 論 を 含む 帰納的 公理 化 可能 な 無矛盾 理論 」 に対して 示さ れ て いる が 、 ここ で は 簡単 の 為 、 自然 数 論 のみ を 扱う 。

第 一 不完全性 定理 の ところ で 示し た よう に 、 ￢ ProvableARG ( m , m ) が 証明 できれ ば 矛盾 が 証明 できる 。

第 一 不完全性 定理 の 所 で 示し た よう に 、 ￢ ProvableARG ( m , m ) が 証明 可能 だ と 、 矛盾 が 証明 さ れる 。

一つ 目 は 証明 論 の 文脈 で ゲーデル の 定理 に 関連 し て 使わ れる 意味 で あり 、 特定 の 形式 的 体系 の 下 で 或 る 命題 を 証明 も 否定 の 証明 も でき ない こと を 言う 。

これら の 結果 は 不完全性 定理 を 必要 と し ない 。

すなわち 不完全性 定理 の 前提 条件 を 満たす 形式 的 体系 において 、 解 の 存在 が 証明 も 反証 も でき ない よう な ディオファントス 方程式 が 存在 する 。

1977 年 、 パリス と ハーリントン は 、 ラムゼー の 定理 の 一 種 で ある { 仮 リンク | パリス・ハーリントン の 定理 | en | Paris - Harrington theorem } が 、 一 階 算術 の 公理 体系 で ある ペアノ 算術 の 下 で は 決定 不能 だ が 、 より 大きな 二 階 算術 の 体系 で は 真 で ある こと を 証明 できる こと を 証明 し た 。