また 、 実 閉体 の 理論 や ユークリッド 幾何 学 も 完全 で あり 、 （ 直に 反し て ） 算術 を 含ま ない ため 、 不完全性 定理 は 適用 でき ない 。

なお 、 群 や 環 の 公理 など は 、 「 自然 数 論 を 含ま ない 帰納的 公理 化 可能 かつ 無矛盾 な 公理系 」 で あり 、 不完全性 定理 は 適用 でき ない が 、 不完全 で ある 。

例えば 、 可 換群 と 非 可 換群 が ともに 存在 する こと から 、 健全 性 定理 より 、 群 の 公理 から は 積 の 可 換性 は 証明 も 反証 も でき ない 。

ゲーデル の 定理 は 、 数学 基礎 論 の うち 、 数学 の 無 矛盾 性 の 証明 を 目標 と し て い た ヒルベルト ・ プログラム に は 、 深刻 な 影響 を 与え た 。

ヒルベルト は 公理 の 適切 な 設定 によって 完全 かつ 無矛盾 な 体系 を 達成 できる と 楽観 視 し て い た が 、 第 二 不完全性 定理 により 、 ヒルベルト の 計画 は 頓挫 し た 。

第 一 不完全性 定理 の 拡張 として 、 証明 の 定義 に 、 命題 の 証明 より 小さな 、 否定 命題 の 証明 が 存在 し ない という 性質 を 追加 し た 上 で 、 前提 の ω 無 矛盾 性 を 無矛盾 性 に 弱め た 定理 が ジョン・バークリー・ロッサー ( 1936 年 ) によって 示さ れ た 。

なお 算術 を 内包 する 真 で ある 体系 （ 自然 数 の 標準 モデル で 真 で ある 公理 に 基づく 体系 ） は ω 無 矛盾 な ので 、 第 1 不完全性 定理 は 原型 の まま でも 適用 できる 。

今日 で は こちら の 無 矛盾 性 のみ を 仮定 する 強い 定理 も ゲーデル の 不完全性 定理 と 呼ば れる が 、 単に ロッサー の 定理 とか ゲーデル・ロッサー の 定理 とか 呼ば れる 。

第 二 不完全性 定理 に関して は 、 ゲーデル による 証明 の 定義 に 代え て 、 ロッサー による 上記 の 証明 の 定義 を 用いれ ば 、 体系 自身 の 無 矛盾 性 が 証明 できる こと が 、 クライゼル ( 1960 ) によって 指摘 さ れ て いる 。

2 つ の 証明 の 定義 の 同値 性 は 体系 内 で は 証明 でき ない ため 、 第 2 不完全性 定理 と は 矛盾 し ない 。

彼 は 、 「 H の 証明 が 存在 すれ ば H で ある 」 が 証明 可能 で あれ ば 、 H も また 証明 可能 で ある こと を 示し た （ レーブ の 定理 ） 。

H に 矛盾 を 代入 すれ ば 、 レーブ の 定理 から 第 二 不完全性 定理 が 示せる 。

不完全性 定理 は 他 の 論理 構造 と 同じく 抽象 代数 による 簡易 な 表現 が 可能 で ある 。

よって T が 生成 する イデアル ( T ) が T が 生み出す 定理 全体 と なる 。

この とき 、 ゲーデル の 第 一 不完全性 定理 は 次 の よう に し て 表現 さ れる 。

最終 的 に この 代数 的 解法 の 存在 は 、 アーベル - ルフィニ の 定理 によって 否定 さ れる ものの 、 ガロア 理論 として 結実 し 、 群 や 体 など の 基本 的 な 代数 的 構造 の 概念 を 生み出し た 。

中間 値 の 定理 に よれ ば 、 実数 を 係数 と する 三 次 方程式 は 、 少なくとも 1 つ 以上 の 実数 を 解 に 持つ こと が 分かる 。

正教会 で は 原罪 につき 厳密 な 定義 を ためらい 、 定理 と する こと （ 教義 化 ） を 避け て 今日 に 至っ て いる 。

一方 、 正教会 は 上述 の よう に 公 会議 や 教義 論争 を通じて 原罪 の 概念 の 定式 化 に 努め た 西方 教会 と 異なり 、 同 概念 に つき 、 公 会議 による 定理 化 （ 教義 化 ） を 避け て き て おり 、 その 理解 に は 様々 な 見解 の 余地 が ある 多様 性 が ある 。

この 全 地 公 会議 において 、 754 年 の 「 頭 なし の 会議 」 の 決議 は 一切 無効 と さ れ 、 イコン の 神学 的 位置づけ が 真剣 に 討議 さ れ 、 以下 の よう に 定理 （ 教義 ） を 確認 、 決議 し た 。