上記 の 確認 さ れ た 定理 は 、 以下 の よう に まとめ られる 。

数学 的 取り扱い において は 、 粒子 が 時間 軸 を 過去 に 向かっ て 進ん で いる もの を 反 粒子 で ある 、 と 解釈 する こと も ある （ CPT 定理 ） 。

ビリ アル 定理 から 次 の こと が 言える 。

ビリ アル と は ラテン語 で 「 力 」 という 意味 で あり 、 ビリ アル 定理 の 名 は それ に 因む 。

ビリ アル 定理 における ビリ アル と は 、 1870 年 に ルドルフ・クラウジウス が 導入 し た 量 で 、 各 粒子 の 位置 と 運動 量 の ドット 積 の 総和 { math | G {{=} ∑ i ri · pi }} によって 定義 さ れる { mvar | G } を 指す 。

古典 力学 系 の 場合 の ビリ アル 定理 の 証明 。

ビリ アル 定理 を 太陽系 や 銀河 を 始め と する 、 非常 に 複雑 な 物理 体系 （ 重力 多 体系 ） に 適用 する こと により 、 計算 結果 を 簡素 化 する こと が できる ので 非常 に 便利 で ある 。

とすれば 、 通常 の ビリ アル 定理 が 導か れる 。

定理 （ て いり 、 theorem ） と は 、 数理 論 理学 および 数学 において 、 証明 さ れ た 真 なる 命題 を いう 。

文脈 によって は 公理 も 定理 に 含む 。

また 、 数学 において は 論説 における 役割 等 から 、 補題 （ ほ だい 、 lemma ） あるいは 補助 定理 （ ほじょ て いり 、 helping theorem ） 、 系 （ けい 、 corollary ） 、 命題 （ めい だい 、 proposition ） など と も 呼ば れる こと が ある 。

一般 的 に 定理 は 、 まず いくつ か の 条件 を 列挙 し 、 次に その 下 で 成り立つ 結論 を 述べる という 形 を し て いる 。

例えば 、 次 は 代数 学 の 基本 定理 の 述べ 方 の 1 つ で ある 。

ある 一定 の 条件 （ 公理系 ） 下 で 定理 を 述べ それ を 証明 する こと 、 という の が 数学 という 分野 の 中心 的 な 研究 の 形態 で ある 。

数学 の 多く の 分野 に は 、 各々 「 基本 定理 」 という 名 で 呼ば れる 中心 的 な 定理 が 存在 し て いる 。

なお 定理 という 名称 と 証明 という 手続き は 、 数学 のみ なら ず 、 物理 や 工学 において も 使用 さ れる 。

※ 数学 以外 の 分野 から 発祥 し た 定理 は 、 物理 発祥 、 工学 発祥 、 経済 学 発祥 として 表記 し た 。

但し 、 元々 数学 と 物理 は 同じ 学問 で あっ た ため 、 数学 と 物理 が 分離 する 時代 まで の 定理 について は 、 物理 法則 が 仮定 として 入っ て いる もの を 物理 発祥 と し た 。

ある ( P 1 ,..., Pn ) が あっ て 、 ( P 1 ,..., Pn ) が Pn の 証明 で ある とき 、 Pn は （ 公理系 A において ） 証明 可能 で ある 、 もしくは Pn は 定理 で ある と 言う 。

可算 集合 は 測度 0 で ある ので 、 上 の 定理 から 特に 、 有界 閉 区間 上 の 有界 函数 は 不連続 点 が 可算 個 以下 なら リーマン 可 積分 で ある 。