また 、 数 論 を 展開 する の に 十分 な 体系 に 見える ペアノ の 公理系 で は 証明 でき ない グッドスタイン の 定理 など 、 特定 の 公理系 で は 証明 も 反証 も でき ない 問題 が 数多く 見いださ れ た 。

この パラドックス は さらに ゲーデル の 不完全性 定理 や チューリングマシン の 停止 問題 と も 関連 し て いる 。

有名 な もの は 余弦 定理 （ よ げん て いり 、 law of cosines ） や 、 三角形 の 辺 の 比 を通じて 定義 さ れる 三角 関数 （ さん かく かんす う 、 trigonometric function ） など が ある 。

余弦 定理 と 三角 関数 は 、 三角形 の 角 と 辺 の 間 に 成り立つ 関係 を 示し た もの で 、 これら の 関係 を 利用 し て 、 三角形 の 辺 の 長 さ から ある 角 の 大き さ を 求め たり 、 大き さ が 既知 の 角 から 辺 の 長 さ や 長 さ の 比 を 求める こと が できる 。

そして 定理 20 で 角 の 大小 関係 を 定義 し て いる 。

この 方法 は 言い換えれ ば 、 余弦 定理 を 利用 し て 角度 を 得る 方法 で ある 。

場 の 回転 は ベクトル 場 に対する 導 函数 に 相当 し 、 これ に 対応 し て 微分 積分 学 の 基本 定理 に 相当 する の は 、 ベクトル 場 の 回転 場 の 面積 分 を その ベクトル 場 の 境界 曲線 上 で の 線 積分 と 関係 づける ストークス の 定理 （ ストークス ＝ ケルビン の 定理 ） で ある と 考え られる 。

以下 の 定理 は 物理 学 的 な 意味 づけ に 乏しい が 、 微分 形式 論 の 、 ポアンカレ の 補題 の 証明 において 、 よく 使わ れる 手法 に 基づい て いる 。

ビオ・サバール の 法則 の アナロジー により 以下 の 定理 が 成り立つ 。

定理 以下 の 定理 は 、 ヘルムホルツ の 定理 の 特殊 な 場合 で あり 、 時間 変動 の ない 磁場 から 電磁 ベクトル ポテンシャル （ 物理 学 で は 、 単に ベクトル ポテンシャル と いっ たら これ を 指す ） を 求める 際 に よく 用い られる 手法 で ある 。

アペリー の 定理 に よる と ζ ( 3 ) は 無理 数 で ある （ 1978 年 、 ロジェ ・ アペリ ） 。

アーンショー の 定理 （ アーンショー の て いり 、 Earnshaw ' s theorem ） は 、 任意 の 電荷 の ない 領域 において 静 電場 が 存在 する とき 、 その 領域 に 荷電 粒子 を おい た 場合 、 粒子 は 安定 な つり合い 状態 を 維持 でき ない という もの で ある 。

重要 な 恒等 式 の 中 に は 、 公式 、 定理 、 法則 など と 呼ば れ て 知ら れ て いる もの も 多く 存在 する 。

オイラー の 公式 、 三角 関数 の 加法 定理 、 指数 法則 など は その 例 で ある 。

大数 の 法則 は 18 世紀 に 確立 さ れ た 定理 で ある が 、 保険 の 萌芽 は 、 古代 ローマ における コレギウム （ 同業 者 葬儀 組合 、 collegium ） や 中世 ・ 近世 ヨーロッパ における ギルド （ 商工 業者 の 職種 ごと の 団体 、 guild ） など に み られる 。

シュルバ・スートラ の 時代 に は ピタゴラス の 定理 が 知ら れ て おり 、 平方根 を 求める 方式 が 発達 し て い た 。

定理 　 一方 向性 関数 が 存在 する 必要 十 分 条件 は 弱 一方 向性 関数 が 存在 する 事 で ある 。

ベルヌーイ の 定理 （ ベルヌーイ の て いり 、 Bernoulli ' s principle ） または ベルヌーイ の 法則 と は 、 非 粘性 流体 （ 完全 流体 ） の いくつ か の 特別 な 場合 において 、 ベルヌーイ の 式 と 呼ば れる 運動 方程式 の 第 一 積分 が 存在 する こと を 述べ た 定理 で ある 。

この 定理 により 流体 の 挙動 を 平易 に 表す こと が できる 。

なお 、 運動 方程式 から の ベルヌーイ の 定理 の 完全 な 誘導 は その後 の 1752 年 に レオンハルト・オイラー により 行わ れ た 。