ゆえに 、 { mvar | n } の とき も 本 定理 は 成立 する 。

よって 、 [ i ], [ ii ] から 、 数学 的 帰納 法 によって 、 { math | n ≥ 0 } に対して 本 定理 が 成り立つ 。

この 定理 の 発見 は ケイリー の 仕事 で ある が 、 ケイリー 自身 が 着想 の 起源 を ハミルトン の 研究 に 負っ て いる と 述べ て いる ため 、 二 人 の 時間 的 順序 から ハミルトン・ケイリー の 定理 と 呼ぶ こと も 多い 。

この 6 点 が 同 一 円周 上 に ある という 定理 を 「 六 点 円 の 定理 」 と いう 。

パスカル の 定理 （ パスカル の てい り ） は 、 ブレーズ・パスカル が 16 歳 の とき に 発見 し た 円錐 曲線 に関する 定理 で ある 。

定理 の 証明 の 一つ は うまく 補助 円 を 書く こと で 円 の 性質 と 三角形 の 相似 だけ で 解く こと が できる 。

この 定理 の 双対 、 ブリアンション の 定理 に よる と Pi における 接線 と Pj における 接線 の 交点 を Rij と する と 、 3 直線 R 12 R 45 、 R 23 R 56 、 R 34 R 61 は 一 点 で 交わる 。

これ は 、 ボイラ で 熱 を 加える 水 の 温度 範囲 が より 高温 側 に シフト し た こと に 対応 し て おり 、 熱 力学 第 二 法則 ( カルノー の 定理 ) の 当然 の 結果 で ある 。

素数 定理 （ そ すう て いり 、 Prime number theorem 、 Primzahlsatz ） と は 自然 数 の 中 に 素数 が どの くらい の 「 割合 」 で 含ま れ て いる か を 述べる 定理 で ある 。

この 定理 は その 問題 について 重要 な 情報 を 与える 。

この 定理 は 、 18 世紀 末 に ガウス や ルジャンドル によって 予想 さ れ た （ ガウス 自身 の 言 に よれ ば それ は 1792 年 の ガウス 15 歳 の とき で ある ） 。

実際 に は ルジャンドル が 初めて 自身 の 著 『 数 の 理論 』 で 公表 し 、 少年 ガウス が それ を 知っ て い た こと は ガウス の 死後 の 1863 年 に 全集 が 出る まで は 知ら れ ず 、 ガウス 自身 は 素数 定理 について は 友人 エンケ に 一 度 だけ 手紙 （ 1849 年 ） で 触れ た だけ で あっ た 。

ウィーナー や 池原 止 戈 夫 ら による タウバー 型 定理 によって 、 素数 定理 と 「 ゼータ 関数 が Re s = 1 上 に 零 点 を 持た ない こと 」 と の 同値 性 が すでに 確立 さ れ て い た ため に 、 この 初等 的 な 証明 は 大きな 驚き を もっ て 迎え られ た 。

例えば 、 アンドリュー ・ ワイルズ ( Andrew Wiles ) により （ リチャード ・ テイラー ( Richard Taylor ) の 支援 を 得 て ） 証明 さ れ た フェルマー の 最終 定理 で 使わ れ た 。

これ は { 仮 リンク | アクセル・トゥエ | en | Axel Thue } が ディオファントス 近似 に関する 定理 から 特別 の 場合 について 証明 し 、 ジーゲル が 一般 の 場合 について 証明 し た 。

しかし 、 これら の 定理 は 計算 可能 性 を 備え て い ない 。

より 詳しく は 、 モーデル・ヴェイユ の 定理 は 、 群 E ( Q ) が 有限 生成 アーベル 群 で ある こと を 言っ て いる 。

従って 、 有限 生成 アーベル 群 の 基本 定理 により 、 これ は Z の コピー と 有限 巡回 群 の 有限 の 直和 で ある 。

定理 の 証明 は 、 2 つ の 部分 から なっ て い て 、 一つ 目 は 、 任意 の 整数 m > 1 に対し 、 商 群 E ( Q )/ mE ( Q ) は 有限 で ある こと （ 弱い モーデル・ヴェイユ の 定理 ） 、 二つ 目 は 、 有理 点 E ( Q ) の 上 で は 高 さ 関数 h を h ( P 0 ) = 0 により 定義 し 、 （ 無限 遠 点 P 0 と は 同じ で は ない ） P が 有理数 の 横 軸 ( abscissa ) x = { frac | p | q }（ p と q は 互いに 素 ） を 持つ とき は 、 { math | h ( P ) {{=} log max (| p |, | q |)}} で 定義 する こと で ある 。

定理 の 証明 は 無限 降下 法 の 変形 の 一種 と なり 、 E へ の ユークリッド の 互除 法 の 繰り返し の 適用 と なっ て いる 。