弱い 形 の モーデル・ヴェイユ の 定理 と 高 さ 関数 P の 第 二 の 性質 は 、 この よう に し て 、 きめ られ た 点 の 有限 個 の 点 の 整数 係数 の 線型 結合 として 表さ れる 。

今 まで 、 E ( Q )/ mE ( Q ) の 代表 元 を 決定 する 一般 的 な プロセス が 知ら れ て い なかっ た ので 、 定理 が 有効 で ある （ 計算 可能 で ある ） と は 言え なかっ た の で ある 。

次 の 定理 は 、 カール ・ ジーゲル ( C . L . Siegel ) に よる 。

この 定理 は 、 x の 座標 の 分母 が 有限 個 の 素数 によって のみ 割る こと の できる 点 へ と 一般 化 さ れる 。

整数 点 に関して 、 ジーゲル の 定理 は 次 の よう に 一般 化 さ れる 。

訓練 サンプル から 、 各 データ 点 と の 距離 が 最大 と なる マージン 最大 化 超 平面 を 求める という 基準 （{ 仮 リンク | 超 平面 分離 定理 | en | Hyperplane separation theorem }） で 線形 入力 素子 の パラメータ を 学習 する 。

外部 性 や 公共 財 が 存在 し ない 経済 における パ レート 効率 性 と 競争 均衡 配分 の 関係 について 述べ た 2 つ の 定理 は 、 厚生 経済 学 の 基本 定理 と よば れる 。

厚生 経済 学 の 第 一 基本 定理 は 、 消費 者 の 選好 が 局所 非 飽和 性 を 満たせ ば 、 競争 均衡 によって 達成 さ れる 配分 は パ レート 効率 的 で ある 、 という もの で ある 。

また 厚生 経済 学 の 第 二 基本 定理 と は 、 局所 非 飽和 性 に 消費 者 の 選好 や 生産 者 の 技術 の 「 凸 性 」 など の しかる べき 条件 を 追加 すれ ば 、 「 任意 の パレート 効率 的 配分 は 、 ( 一括 固定 税 ・ 一括 補助 金 など で ) 適当 な 所得 分配 を 行う こと によって 競争 均衡 配分 として 実現 可能 で ある 」 という もの で ある 。

第 一 定理 から 、 外部 性 や 公共 財 が 存在 し ない 経済 において は 、 競争 市場 を 整備 さえ すれ ば パレート 効率 を 目標 と する 政策 を 考える 必要 性 は 含ま れ て い ない 。

これ を アロー の 不可能 性 定理 と いい 、 序 数 主義 の 限界 を 示す もの と 考え られ て いる 。

フォン ・ ノイ マン は 、 それら の 試み に さらなる 理論 的 意味 付け を 与え 、 理論 体系 を 構築 し 、 1928 年 に は 『 ゲーム 理論 ( Zur Theorie der Gesellschaftsspiele )』 を 、 また 1937 年 に は 『 均斉 成長 経路 の 定式 化 と ブラウワー の 定理 の 一般 化 ( Über ein ökonomisches Gleichungssystem und eine Verallgemeinerung des Brouwerschen Fixpunksatzes )』 発表 し た 。

これら の 論文 で は 、 「 対象 モデル を コンパクト 凸 集合 として 扱い 、 それ に対して ブラウワー の 不動点 定理 を 適用 する 」 という 現在 の ゲーム 理論 における 主流 と も いえる 手法 が すでに 用い られ て い た 。

1928 年 の 『 ゲーム 理論 』 で ミニマックス 定理 の 証明 が なさ れ た こと で 、 ゲーム 理論 の 応用 数学 として の 枠組み が 明確 化 さ れる よう に なっ た 。

しかし 、 これら の 論文 は 、 不動点 定理 を 経済 学 の 均衡 問題 に 適用 する と 言う 点 で 斬新 で は あっ た ものの 、 数学 的 に は 目新しい 要素 は なく 、 理論 の 適用 対象 と なる モデル も 限定 さ れ て おり 、 かつ 用途 も 分かり にくい もの で あっ た ため 、 大きく 取り上げ られる こと は なかっ た 。

ナッシュ は 、 角谷 の 不動点 定理 を 一般 化 し 、 「 n 人 有限 ゲーム に は 、 最低 で も 一つ の 均衡 点 、 つまり プレーヤー が 相互 に 最適 な 戦略 を 取り合っ て 手 を 変え ない 状態 ( ナッシュ 均衡 ) が 存在 する こと 」 を 証明 し た 。

代数 学 の 基本 定理 に よれ ば 、 任意 の 複素数 係数 方程式 は 複素数 の 中 に 根 が 存在 する が 、 しかしながら 5 次 以上 の 方程式 に は 一般 に は 代数 的 解法 は 必ずしも 存在 し ない 。

消費 者 や 生産 者 が すべて の 財 の 価格 を 与え られ た もの として 行動 する 完全 競争 市場 の 一般 均衡 モデル は 、 消費 者 や 生産 者 の 効用 関数 や 生産 関数 を 特定 化 し なく て も 、 凸 解析 や 不動点 定理 など で かなり の 分析 が 可能 な 数学 的 に 優れ た 構造 を 持つ 。

すべて の 財 の 市場 の 需給 が 一致 する 競争 均衡 価格 の 存在 定理 や 、 競争 均衡 における 資源 配分 が パレート 最適 で ある こと を 言っ た 「 厚生 経済 学 の 第 一 定理 」 など が 、 一般 均衡 分析 の 重要 な 定理 として 知ら れ て いる 。

これら の 定理 は 仮定 から 結論 を 導く 数学 的 な 証明 を 追う こと で 理解 可能 で ある が 、 2 財 2 消費 者 を 図示 し た エッジワースボックス で も 直感 的 な 理解 は 可能 で ある 。