ルートヴィッヒ・ボルツマン は 「 分子 的 混沌 」 を 仮定 し て H 定理 を 証明 し た 。

H 定理 が 成り立つ なら ば 、 それ を通じて 微視的 な 力学 から エントロピー を 定義 する こと が できる 。

特殊 相対性理論 および 一般 相対性理論 、 相対 性 宇宙 論 、 ブラウン 運動 の 起源 を 説明 する 揺 動 散逸 定理 、 光量子 仮説 による 光 の 粒子 と 波動 の 二 重 性 、 アインシュタイン の 固体 比熱 理論 、 零 点 エネルギー 、 半古 典型 の シュレディンガー 方程式 、 ボーズ ＝ アインシュタイン 凝縮 など を 提唱 し た 業績 により 、 20 世紀 最大 の 物理 学者 とも 、 現代 物理 学 の 父 と も 呼ば れる 。

一方 で 数学 に関して は 傑出 し た 才能 を 示し 、 9 歳 の とき に ピタゴラス の 定理 の 存在 を 知り 、 その 定理 の 美しい 証明 を 寝る 間 も 惜しん で 考え 、 そして 自力 で 定理 を 証明 し た 。

一般 相対性理論 と 関わる 分野 で 理論 的 研究 を 前進 さ せ 、 1963 年 に ブラックホール の 特異 点 定理 を 発表 し 世界 的 に 名 を 知ら れ た 。

一般 相対性理論 が 破綻 する 特異 点 の 存在 を 証明 し た 特異 点 定理 を ロジャー・ペンローズ と共に 発表 し た 。

ここ から 導か れる 、 任意 の 整数 が 単元 を 掛ける 違い を 除い て 素数 の 積 として 一意 に 表さ れる という 重要 な 事実 は 算術 の 基本 定理 と 呼ば れ 、 Z が 一意 分解 環 で ある こと を 示す 。

オストウスキー の 定理 に よれ ば 、 Q 上 の 非 自明 な 絶対 値 は 同値 の 違い を 除い て 通常 の 絶対 値 か p - 進 絶対 値 で 尽くさ れる 。

微分 積分 学 と 光学 、 万有引力 など の 諸 法則 ・ 定理 を 発見 し た アイザック ・ ニュートン 、 望遠鏡 を 使用 し て 月 の 表面 に 凸凹 が ある こと や 木星 に 衛星 が ある こと 、 天の川 が 無数 の 星 の 集合 で ある こと など 天体 に関する 様々 な 発見 により 天文学 に 大きく 貢献 し た ガリ レオ ・ ガリ レイ 、 惑星 の 軌道 が 楕円 で ある こと など 天体 の 運行 法則 に関する ケプラー の 法則 の 提唱 や ルドルフ 表 を 作り 地動説 の ほう が 精密 に 惑星 の 運行 を 計算 できる こと を 明示 し た ヨハネス・ケプラー など 科学 的 な 発見 が 相次ぎ 、 科学 哲学 上 に も 大きな 影響 を 与え た こと から 科学 革命 と 呼ば れ て いる 。

それら の 複数 の 経過 から さらに 評価 する こと によって 、 同じ ラムダ 式 を 得 られる 性質 を チャーチ・ロッサー 性 、 もしくは 合流 性 と 呼ぶ （ チャーチ・ロッサー の 定理 ） 。

有理数 の 無理 数 度 は 1 , ディリクレ の 定理 および ロス の 定理 より 代数 的 無理 数 の 無理 数 度 は 2 , リウヴィル 数 の 無理 数 度 は ∞ で ある 。

ディリクレ の 定理 より 無理 数 の 無理 数 度 は 全て 2 以上 で ある 。

しかし ピタゴラス の 定理 から も 示さ れる よう に 2 の 平方根 が 無理 数 で ある こと も 自明 で あっ た が 、 教義 に 反する ため 受け入れ られ ず 、 この こと は 今日 から 見れ ば 自ずから 制約 を 課せ られ て い た と 見なせる 。

また 1792 年 頃 、 15 歳 当時 の 彼 は 、 一 日 15 分 ずつ の 予備 の 時間 を 当て て 1000 個 ずつ の 自然 数 に それぞれ いくつ の 素数 が 現れる か を 調べ 、 その 次第 に 減っ て いく 様子 から 、 約 100 年 後 に 証明 さ れる こと に なる 素数 定理 を 予想 し た 。

学位 論文 で 彼 は 代数 学 の 基本 定理 を 最初 に 証明 し た 。

自然 数 の 素数 による 一意 分解 の 定理 が 明確 に 言明 さ れ 、 証明 さ れ た の も この 本 が 最初 で あっ た 。

また 今日 で いう ところ の 円 分 体 の 理論 が 記述 さ れ て いる ほか 、 素数 定理 に対する 予想 が 述べ られ て いる 。

その ため 、 ガウス は 代数 学 の 基本 定理 を 証明 し た 学位 論文 で は 誤解 を 避ける ため に 虚数 を 表 に 出さ ず 、 多項式 が 実数 の 範囲 内 で 1 次 または 2 次 の 因数 に 分解 さ れる と し た 。

一方 、 関数 論 は 1825 年 の コーシー の 虚数 積分 の 論文 に 端 を 発し 、 その後 30 年 を 掛け て 対象 として の 解析 関数 の 認知 に まで 発展 し た が 、 ガウス に は 1811 年 に は すでに 、 後 に 「 コーシー の 積分 定理 」 として 知ら れる 事柄 を 確実 に 把握 し 、 使いこなし て い た 。

すでに 1790 年代 の 中頃 から ガウス 平面 上 で 物事 を 考え て い た ガウス の 眼 に は 二 重 周期 関数 の 存在 は 自明 で 、 三角 関数 の 拡張 を 目指し て 楕円 積分 の 逆 関数 を 考え 、 その 結果 「 楕円 関数 」 を 得 た の も ごく 自然 の 動き で あり 、 また 複素 積分 で の 積分 路 の 役割 を 考え て コーシー の 積分 定理 の 内容 に 逢着 し た の も これ また ごく 自然 で あろ う 。