中心 極限 定理 に よれ ば 、 母集団 自体 が 特殊 な 性質 を 満たす 集合 で ない 限り 、 サンプル 平均 と 母集団 の 真 の 平均 と の 誤差 は 平均 が 0 で 分散 は サンプル 数 の 逆数 に 比例 し て 小さく なる 。
この 定理 を 発見 者 の 名前 から パスカル の 原理 と 呼び 、 垂直 な 内部 の 力 と 面積 の 間 の 比例 定数 を 圧力 （ あるいは 静 水圧 ） と 呼ぶ 。
音楽 CD は サンプリング 周波数 に 44 , 100 Hz を 採用 し て いる が 、 これ は 理論 上 22 , 050 Hz まで 再現 できる ため （ 標本 化 定理 実際 に は 音声 出力 時 に ローパスフィルタ に 通す ため 、 22 , 050 Hz より は 帯域 が 狭く なる が 、 フィルタ による 減衰 域 を 除外 し て も ） ヒト の 可聴 域 は 十分 カバー できる と 考え られ た から で ある 。
ハリー ・ ナイキスト により 1928 年 に 予想 さ れ た この 再現 限界 の 定理 は 、 標本 化 定理 と 呼ば れる 。
古代 ギリシア の 数学 者 ・ 哲学 者 で 「 ピタゴラス の 定理 （ 三 平方 の 定理 ） 」 など で 有名 な ピュタゴラス は 、 ソラマメ の 中空 の 茎 が 冥界 （ ハーデース ） と 地上 を 結ん で おり 、 豆 に は 死者 の 魂 が 入っ て いる かも 知れ ない と 考え た 。
この R 1 ( x ) を さらに ( g 0 ( x )) m - 2 で 割り算 すれ ば 任意 の 複素数 係数 の 一変 数 有理 式 は 、 その 極 （ 分母 と なる 多項式 の 零 点 ） が 分かれ ば 因数 定理 を 用い て 一 次 式 の 積 に 分解 さ れる から 、 上 で 見 た 三つ の 原理 を 使う と 、 多項式 の 項 以外 は 、 分子 が 定数 で 分母 が 一 次 式 の 冪 で ある よう な 項 から なる 部分 分数 分解 を もつ こと が 示せる 。
しかし 1930 年 に クルト ・ ゲーデル によって 不完全性 定理 が 発見 さ れ 、 自然 数 論 を 含み かつ 無矛盾 で ある 計算 可能 な 公理系 に は 、 内容 的 に は 真 で ある が 、 証明 でき ない 命題 が 存在 する こと が 判明 し た ため に 、 ヒルベルト たち の 研究 計画 は 頓挫 し た 。
多項式 に関する 因数 定理 （ いんす う て いり 、 factor theorem ） は 、 多項式 f ( x ) に対して 、 f ( a ) = 0 を 満たす a が 存在 すれ ば f ( x ) は x − a を 因数 に 持つ という 定理 。
より 一般 に 、 一変 数 多項式 の 成す 環 で は 除法 の 原理 が 成り立つ から 、 上 の 0 を 零 元 と 見れ ば 、 多項式 の 変数 に 代入 が 可能 な 範囲 の 代数 的 構造 を 持つ 集合 で 剰余 の 定理 より 導か れる 。
これ は 代数 学 の 基本 定理 として 知ら れる 。
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系 として 、 タレス の 定理 が ある 。
タレース の 定理 と は 、 という 定理 で ある 。
これ は 、 円周 角 の 定理 から 証明 できる 。
バナッハ ＝ タルスキー の パラドックス ( Banach - Tarski paradox ) は 、 球 を 3 次元 空間 内 で 、 有限 個 の 部分 に 分割 し 、 それら を 回転 ・ 平行 移動 操作 のみ を 使っ て うまく 組み替える こと で 、 元 の 球 と 同じ 半径 の 球 を 2 つ 作る こと が できる という 定理 （ ただし 、 各 断片 は 通常 の 意味 で 体積 を 定義 でき ない ） 。