結果 が 直観 に 反する こと から 、 定理 で ある が 、 パラドックス と 呼ば れる 。

ステファン ・ バナフ （ バナッハ ） と アルフレト・タルスキ が 1924 年 に 初めて この 定理 を 述べ た とき に 選択 公理 を 肯定 的 に とらえ て い た か 、 否定 的 に とらえ て い た か 、 判断 する こと は 難しい 。

） この 定理 は 次 の よう に 述べる こと も 出来る 。

さらに 、 この 定理 から 次 の より 強い 形 の 系 を 導く こと が 出来る 。

この 定理 の 証明 で 、 点 集合 は 選択 公理 を 使っ て つくら れる 選択 集合 で 構成 さ れ て おり 、 各 断片 は ルベーグ 可 測 で は ない 。

この 定理 は 3 次元 以上 の 全て の 次元 において も 成り立つ 。

チェバ の 定理 （ ち ぇばのていり 、 Ceva ' s theorem ） と は 、 幾何 学 の 定理 の 1 つ で ある 。

メネラウス の 定理 （ め ねらう す の て いり 、 Menelaus ' theorem ） と は 、 幾何 学 の 定理 の 1 つ で ある 。

ガウス による 合同 式 （ ご う どう しき 、 congruence or congruence equation ） を 用い た この 新しい 手法 は 、 有名 な 平方 剰余 の 相互 法則 を 明らか に し 、 より 抽象 的 な 観点 から ウィルソン の 定理 など の 定理 の 記述 の 簡素 化 に 一役 を 買っ た 。

したがって 、 群 の 一般 論 から 、 オイラー の 定理 が 導か れる 。

ピエール ・ ド・フェルマー ( 1607 - 1665 ) は 多数 の 定理 を 残し た が 、 中でも 有名 な もの は 大 定理 、 二 平方和 定理 、 小 定理 の 3 つ で あろ う 。

そういった 成功 とともに 、 オイラー は いくつ か の 誤り も 犯し て おり 、 フェルマー の 大 定理 の n = 3 の 場合 の 証明 に 失敗 し て いる （ 彼 の 最初 の 証明 は 誤り で ある ） 。

オイラー による 二 平方和 定理 の 証明 に し た ところ で 、 古い 伝統 的 な 道具立て で は 証明 は 長く 技巧 的 な もの に なら ざる を 得 ず 、 その よう な 方法 で は 1 世紀 以上 の 努力 を 費やし て も フェルマー の 整数 問題 を 解決 する こと は でき なかっ た の で ある 。

ディリクレ ( 1805 - 1859 ) も 類似 の 整数 の 集合 を 発見 し て おり （ それ は ディリクレ 整数 と 呼ば れる ） 、 それ を 足がかり として フェルマー の 大 定理 の n = 5 の 場合 を 証明 し た 。

その 論文 は 1825 年 に 科学 アカデミー に 提出 さ れ 、 ルジャンドル の 数 ヶ月 に 亘る 査読 を 受け た 後 に 受理 さ れ て いる その ころ フェルマー の 整数 問題 は 、 最終 定理 を 除く すべて が 解決 さ れ て い た が 、 新しい 予想 も 現われ て い た 。

その後 も 合同 算術 は 発展 を 続け 、 ディリクレ は ディリクレ 指標 の 概念 や 解析 的 整数 論 の 基礎 を 固める こと によって 算術 級数 定理 を 証明 し た 。

なお 、 余り を 知る 数 が 3 、 5 、 7 で なく て も 、 どの 2 つ を とっ て も 互いに 素 と なる よう な 数 の 組み合わせ で あれ ば 、 中国 剰余 定理 により この よう な 合同 式 を 導く こと が できる 。

これ は Wiener - Khintchine の 定理 から 、 自己 相関 関数 が デルタ 関数 と なる こと と 同じ で ある 。

ホワイトガウスノイズ （ 白色 ガウス 雑音 ） は 実 世界 の ノイズ と し て よい 近似 で ある から で ある （ 中心 極限 定理 ） 。

グラハム の 定理 より 、 解 の 存在 は 確か だ が 、 具体 的 な 値 は 現在 に いたる まで 得 られ て い ない 。