もう少し 一般 に 関数 { mvar | f } が { math | f & thinsp ;( x + y ) {{=} f & thinsp ;( x ) + f & thinsp ;( y )}} の 形 の 加法 定理 を 満足 する とき 、 関数 { mvar | f } は 加法 的 で ある または 加法 性 を 持つ と いう 。

また 、 指数 法則 の 一つ で ある 指数 関数 の 加法 定理 { math | exp ( x + y ) {{=} exp ( x ) exp ( y )}} など は 加法 が 乗法 に 写る よう な 加法 定理 で ある 。

多様 な 加法 定理 が 世の中 に は 存在 する が 、 代表 的 な もの を 以下 に 掲げる 。

コクセター による 実数 体 上 の アフィン 幾何 学 の 公理 化 { harv | Coxeter | 1969 | loc = p . 192 } は デザルグ の 定理 の アフィン 版 を 備え た 順序 幾何 学 として アフィン 幾何 学 を 捉える 。

この 式 は 発散 定理 を 用いれ ば と 変形 できる 。

これ は ダウンズ 独自 の 着想 と 言う より も 、 ハロルド・ホテリング や ダンカン ・ ブラック による 中位 投票 者 定理 を 選挙 競争 に 置き換え た もの で ある 。

これ は 、 Rn の 任意 の 有界 閉 集合 が コンパクト 、 従って 完備 で ある こと を 述べる ハイネ・ボレル の 被覆 定理 の 一般 化 で ある 。

ベール の 範疇 定理 に よれ ば 任意 の 完備 距離 空間 は ベール 空間 で ある 。

ベール の 範疇 定理 の 帰結 は 純 位相 的 だ から 、 これら の 空間 に対して も 同様 に 定理 が 適用 できる 。

有限 の (＝ プレーヤー の 数 と 各 プレーヤー の 戦略 の 数 が 有限 の ) 混合 戦略 ゲーム で は 少なくとも 1 つ の ナッシュ 均衡 が 存在 する こと は ナッシュ の 定理 で 証明 さ れ て いる （ ナッシュ は 、 この 証明 を 角谷 の 不動点 定理 を 応用 する こと によって 得 た ） 。

Kazhdan - Lusztig 予想 、 一般 次元 Riemann - Hilbert 問題 （ Hilbert 第 21 問題 の 一般 化 、 特異 点 問題 も 含ん だ 形 で ） の 解決 、 層 Ｃ における 佐藤 定理 へ の 貢献 。

岩澤 理論 は ワイルズ による フェルマー の 最終 定理 の 解決 に 決定的 貢献 を し た 。

伊藤 の 公式 は 確率 解析 学 における 基本 定理 で 確率 積分 の 計算 手段 を 示し た もの で 、 この 公式 無し で は 確率 解析 における 計算 は ほぼ 不可能 と いえる 。

伊藤 の 定理 は 微積分 に 確率 論 を 導入 する こと で 、 ブラウン 運動 の 軌跡 や 、 株式 や 債券 の 金融 商品 の 価格 変動 の チャート など 、 規則 性 の ない 曲線 を 方程式 で 記述 する こと を はじめて 可能 に し た 。

デリバティブ の 一 種 で ある オプション の 価格 評価 式 で ある ブラック - ショールズ 方程式 の 導出 は 伊藤 の 定理 が 基礎 と なっ て おり 、 同 方程式 の 考案 者 として ノーベル 経済 学賞 を 受賞 し た マイロン・ショールズ は 伊藤 に 会っ た 際 に わざわざ 握手 を 求め 、 伊藤 の 定理 に 敬意 を 表し た 。

伊藤 自身 は 経済 学 に 無 関心 で 、 ある 経済 学者 の 集まり に 出席 し た 際 に 、 あまり の 歓迎 ぶり に 当惑 の あまり そもそも そんな 定理 を 導い た 記憶 は ない と 言い張っ た と いう 。

1984 年 秋 、 この 予想 から フェルマー の 最終 定理 が 出る という アイディア が ゲルハルト・フライ により 提示 さ れ 、 セール による 定式 化 を 経 て （ フライ ・ セール の { 仮 リンク | イプシロン 予想 | en | Epsilon conjecture }）、 1986 年 夏 に ケン ・ リベット によって 証明 さ れ た こと により 俄然 注目 を 集め た が 、 アンドリュー ・ ワイルズ を 除い て は 、 まとも に 挑も う と する 数学 者 は 依然として 現れ なかっ た 。

{ harv | Kleiman | 1968 } しか し 、 グロタンディーク の 標準 予想 は 、 未 解決 （ ただし 、 ドリーニュ により ヴェイユ 予想 を 拡張 する こと で 証明 さ れ た 強 レフシェッツ 定理 を 除く ） で あり 、 リーマン 予想 の 類似 は { harvs | txt | authorlink = Pierre Deligne | last = Deligne | year = 1974 } で エータル・コホモロジー を 使う こと により 、 ドリーニュ の 独創 的 な 議論 により 標準 予想 を 使う こと を 避け て 証明 さ れ た 。

代数 トポロジー で は 、 自己 同型 の 固定 点 の 数 は レフシェッツ 不動点 定理 を 使い 求め られる 。

レフシェッツ 不動点 定理 は 、 コホモロジー 群 上 の トレース の 交代 和 として 与え られる 。