ゼータ 函数 の 函数 等式 は 、 l - 進 コホモロジー の ポアンカレ 双対 に従い 、 リフト し た 複素 ベッチ 数 と の 関係 性 は l - 進 コホモロジー と 複素 変数 の 通常 の コホモロジー の 間 の 比較 定理 に 従う 。

ドリーニュ の 定理 は 、 f が 有限 体 上 の 有限 タイプ の スキーム の 射 で あれ ば 、 Rif ! は 、 ウェイト ≤ β + i の 混合 素 へ ウェイト ≤ β の 混合 双 を 写像 する こと を 言っ て いる 。

1996 年 に 証明 さ れ た 、 「 全て の 偶数 は 高々 6 個 の 素数 の 和 で 表せる 」 という オリヴィエ・ラマレ の 定理 も 、 フリー マン が 発見 し た 補題 が 重要 で ある 。

従来 の 技法 に対して 優れ て いる の は （ 統計 多重 化 と 同様 ） 可変 帯域 幅 が 可能 な 点 で 、 シャノン ＝ ハー トレー の 定理 に よれ ば 帯域 幅 を 広く する ほど SN 比 が 悪く て も 通信 可能 と なる 。

空 な 族 と 言う 自明 な 場合 に は 定理 が 適用 する ため に 線型 独立 と 見なさ れ なけれ ば なら ない 。

m > n なら ば ベクトル は 線型 従属 で なけれ ば なら ない こと は 定理 で ある 。

この 事 が 測度 論 を ベース に し た 積分 の 定義 （ ルベーグ 積分 ） を 従来 の 定義 （ リーマン 積分 ） より も 使い 易く し て おり 、 前者 で は 適切 な 条件 の もと 積分 と 可算 和 の 順番 を 交換 できる 事 を 保証 できる （ 有界 収束 定理 ） が 、 後者 の 場合 は 同じ 条件下 で あっ て も この 種 の 交換 は 有限 和 の とき に しか 保証 さ れ ない 。

バナッハ 空間 に 値 を とる 測度 は スペクトル 測度 ({ en | spectral measure } ) と 呼ば れ 、 主 に 関数 解析 学 において スペクトル 定理 ({ en | spectral theorem }) など に 用い られる 。

ハドヴィガー の 定理 ({ en | Hadwiger ' s theorem }) として 知ら れる 積分 幾何 学 における 注目 す べき 結果 に よる と 、 { math | R {{ sup | n }}} の コンパクト 凸 集合 の 有限 和 の 上 で 定義 さ れ た 平行 移動 不変 、 有限 加法 的 で 、 必ずしも 非負 で は ない 集合 関数 の なす 空間 は 、 （ スカラー 倍 の 違い を 除き ） 各 { math | k {{=} 0 , 1 , 2 , ..., n }} に対して 「 次数 { mvar | k } の 斉 次 な 」 測度 と それら の 測度 の 線型 結合 から なる 。

中点 連結 定理 （ ち ゅうてんれんけつていり 、 midpoint theorem , midpoint connector theorem ） と は 、 平面 幾何 の 定理 の 一つ 。

中点 連結 定理 は 三角形 の 2 辺 の それぞれ の 中点 を 結ん だ 線分 、 すなわち その 三角形 の 中点 連結 （ ち ゅうてんれんけつ 、 midpoint connector ） について を 述べ た 定理 で あり 、 三角形 の 中点 連結 と 、 中点 連結 と 中点 を 共有 し ない 1 辺 は 互いに 平行 で あり 、 中点 連結 の 長 さ は 中点 を 共有 し ない 辺 の 半分 で ある こと を 示す 。

三角形 { math | ABC } の 頂点 { math | A } と 2 つ の 中点 { math | M , N } が なす 三角形 { math | AMN } は 、 元 の 三角形 { math | ABC } の 相似 で ある こと を 示し 、 中点 連結 定理 が 成り立つ こと を 証明 する 。

なお 「 三角形 { math | ABC } において 、 辺 { math | AB } の 中点 { math | M } と 辺 { math | AC } 上 の 点 { math | N } を 結ぶ 線分 { math | MN } の 長 さ が 底辺 { math | BC } の 半分 で あれ ば 、 点 { math | N } は 、 辺 { math | AC } を 二 等分 する 」 も 、 中点 連結 定理 の 「 逆 」 の 内容 を 持っ て いる が 、 内容 自体 が 誤り な ので 、 定理 として 「 中点 連結 定理 の 逆 」 と 呼ば れる こと は ない 。

ある 種 自明 の よう に 思わ れる が 、 これ は 実数 の 閉 区間 が 連結 で あり 、 その 連続 像 が 再び 閉 区間 したがって 連結 と なる こと （ 一般 に 連結 な 位相 空間 の 連続 写像 による 像 は やはり 連結 で ある ） から 成り立つ 定理 で ある 。

尚 、 「 任意 の 閉 区間 が 連結 で ある 」 事 と 「 実数 の 連続 性 が 成立 する 」 事 は 同値 で あり （ 例えば 有理数 体 上 で は [ a , b ] は 連結 で ない ） 、 中間 値 の 定理 自体 も 結局 は 実数 の 連続 性 と 同値 で ある 。

いま 、 定理 の 仮定 を 満たす 関数 f について Im ( f ) = { f ( x ) | x ∈ I } とおく 。

また 、 f ( a ) < γ < f ( b ) と する （ どちら か の 点 に 一致 する とき は 定理 は 自明 で ある ） 。

[ 証明 終 ] この 種 の 定理 は 「 存在 」 に関して は 保証 し て くれる が 、 「 具体 的 に どこ に ある か 」 について は 分から ない 。

） 似 た よう な 存在 型 の 定理 に 、 ロル の 定理 や 平均 値 の 定理 など が ある 。

ヤコビ は また 、 楕円 関数 を 数 論 に 応用 し て ジョゼフ ＝ ルイ ・ ラグランジュ の 四 平方 定理 （ ピエール・ド・フェルマー の 多角 数 定理 における 四角 数 の 場合 ） を 精密 に し た ヤコビ の 四 平方 定理 を 得 た 。