対数 積分 は 素数 の 密度 を 推定 する ため に 使わ れる こと が 多く 、 素数 定理 など で 次 の 式 として 登場 する 。

従って 、 定理 は シンプレクティック 多様 体 上 の 自然 な 体積 形式 は ハミルトン フロー の 下 に 不変 で ある 。

定理 の ひとつ の 定式 化 は 、 この 体積 形式 の リー 微分 が すべて の ハミルトン ベクトル 場 に 沿っ て 0 で ある こと を いっ て いる 。

リウヴィル の 定理 は 、 統計 力学 の 基礎 として も 重要 で ある 。

粒子 の 衝突 など 、 正 準 方程式 に 従わ ない 場合 は リウヴィル の 定理 は そのまま で は 成り立た ず 、 これ を 記述 する の が ボルツマン 方程式 で ある 。

証明 に 350 年 程 掛かっ た フェルマー の 最終 定理 も 、 ABC 予想 を 使え ば 一気に 証明 が 可能 と なる ため 、 欧米 の マスメディア も 「 驚異 的 な 偉業 に なる だろ う 」 と 伝え て いる 。

「 連続 」 という 用語 は 、 「 ルベーグ 測度 に対して 絶対 連続 」 という 意味 で 使わ れる こと も ある （ ラドン - ニコディム の 定理 ） 。

正規 分布 は 、 中心 極限 定理 が ある ため 、 自然 界 や 統計 で は よく 現れる 。

さらに 、 もし 十分 に 高い 割引 係 数 によって 囚人 の ジレンマ が 繰り返さ れる なら ば 、 繰り返し 囚人 の ジレンマ ゲーム に は 、 全体 として 最も 高い 利得 を 獲得 する こと が できる 均衡 が 複数 存在 する こと が 、 繰り返し ゲーム に関する 有名 な 定理 で ある フォーク 定理 によって 示さ れ て いる 。

相反 定理 ( reciprocal theorem , または reciprocal relations ) と 呼ば れる もの は 以下 の よう に いくつ か ある 。

一般 に 二つ の もの を 入れ替え て も 同等 で ある という こと を 示す 定理 。

この 記事 で は 1 の オンサーガー の 相反 定理 について 述べる 。

---- オンサーガー の 相反 定理 （— の そう はん て いり 、 Onsager reciprocal relations ） と は 、 熱 力学 において 、 平衡 から 外れ て いる が 局所 的 に 平衡 状態 に ある と みなせる 系 で の 流れ と 「 熱 力学 的 な 力 thermodynamic force ( s )」 と の 関係 に関する 定理 で ある 。

ここ で 、 圧力 差 当り の 熱 の 流れ と 温度 差 当り の 密度 （ 物質 ） の 流れ が 等しい 、 という の が 相反 定理 で ある 。

この 定理 は 1931 年 に ラルス・オンサーガー によって 微視的 な 時間 に関する 対称 性 から 統計 力学 的 に 導か れ た 。

統計 力学 で は 揺 動 散逸 定理 に 含ま れる 。

オンサーガー の 相反 定理 は “ 交差 係数 ” Lur と Lru が 等しい こと を 主張 する もの で ある 。

これ を コース の 定理 と いう 。

デジタル 信号 で は 、 ある サンプリング 周波数 で サンプリング さ れる ため に 、 サンプリング 周波数 の 半分 を 超える 周波数 成分 は 折り返し 雑音 と なる （ サンプリング 定理 を 参照 ） 。

はさみ うち の 原理 （ はさみ うち の げん り ） は 、 極限 に関する 定理 の 一つ 。