彼 は その後 も 二 次 形式 の 研究 を 続け 、 1896 年 に は 幾何 学 的 な 考察 から 数 論 の 定理 を 示す 方法 （ 彼 は それ を 「 数 の 幾何 学 」 と 呼ん だ ） を 編み出し た 。

そして いくつ も の 数 論 の 定理 を 幾何 学 的 に 証明 し たり 、 新しい 定理 を 得 た 。

ポアンカレ・レフシェッツ 双対 定理 、 レフシェッツ の 不動点 定理 、 レフシェッツ の 跡 公式 、 レフシェッツペンシル 等 に 名前 を 残す 。

中 線 定理 （ ちゅうせん て いり 、 parallelogram law ） と は 、 幾何 学 において 、 三角形 の 中 線 の 長 さ と 辺 の 長 さ の 関係 を 表す 定理 で ある 。

パップス の 定理 と も いわ れる 。

この 性質 を 中 線 定理 と いう 。

これ は スチュワート の 定理 の 特別 な 場合 で ある 。

二等辺三角形 に対して は ピタゴラス の 定理 と 同等 に なる 。

中 線 定理 の 成立 は 、 計量 ベクトル 空間 における ノルム が ある 内積 から 導か れる ため の 必要 条件 で ある を 示し て いる が 、 逆 に 十分 条件 で も ある こと が 、 フォン ・ ノイ マン 及び パスクアル・ヨルダン によって 示さ れ て いる 。

すなわち 、 必ずしも 内積 を 有し て い ない ノルム 空間 において 、 ノルム が 中 線 定理 を 満たす なら ば 、 その ノルム を 与える よう な 内積 が 存在 する 。

定理 を スチュワート の 定理 の 特別 な 場合 と 考え て 証明 する か 、 または 計量 ベクトル 空間 における ベクトル を 使用 する こと で 証明 する こと が できる 。

これ は 実際 は 、 ヘンリー ・ シェーファー による 著名 な 論理 学 の 定理 で あり 、 ウィトゲンシュタイン は これ を 利用 し て いる 。

これ は 現在 カルノー の 定理 と 呼ば れ て いる 。

カルノー が 行っ た 誘導 は 、 誤っ た 熱量 保存 則 に 基づい て い た が 、 カルノー の 定理 が 正しい こと は 後年 ルドルフ・クラウジウス および ウィリアム ・ トムソン により 示さ れ た 。

また 、 上 の 説明 で は 空気 を 膨張 ・ 圧縮 さ せ た が 、 カルノー の 定理 に よれ ば 、 最大 効率 は 熱 を 伝える 物質 に は 依存 し ない の で ある から 、 これ は 空気 以外 の 気体 、 あるいは 液体 や 固体 で も 理論 的 に は 構わ ない 。

現在 の 熱 力学 において は 、 これら の 定理 の うち 、 ( 4 ) および 断熱 変化 の 式 は 誤り で ある 。

また 、 カルノー の 定理 に 代表 さ れる 、 熱 と 仕事 の 関係 性 の 研究 は 、 後 の 熱 力学 の 発展 に 大きく 寄与 し て いる 。

他 の 現代 数学 と 同様 に 、 この 確率 論 で は 「 確率 」 が 何 を 意味 し て いる の か という 問題 は 取り扱わ ず 、 「 確率 」 が 満たす べき 性質 を いくつ か 規定 し 、 その 性質 から 導く こと の できる 定理 を 突き詰め て いく 学問 で ある 。

陪審 定理 や 投票 の 逆理 ( コンドル セ の パラドクス ) など 近代 民主 主義 の 原理 を 数学 を 用い て 考察 し た こと で 知ら れる 。

アティヤ ＝ シンガー の 指数 定理 の 様々 な 拡張 を 確立 する という 立場 から 、 力学 系 による 対称 性 を 持つ フレドホルム 作用素 の 指数 を とらえる ため の K - 理論 の 研究 や 、 また 、 一般 の 環 に対して 定義 さ れ 、 多様 体 の ド・ラームホモロジー を 特別 な 場合 として 含む よう な 巡回 コホモロジー の 研究 を 行っ て いる 。