1827 年 に 『 曲面 の 研究 』 （ Disquisitiones generales circa superficies curvas ） を 出版 し 、 曲面 の 面積 と 対応 する 単位 球面 の 面積 の 無限 小 比 として 意味付け られる 曲 率 （ 今日 で は ガウス 曲 率 と 呼ば れる ） が 、 曲面 の 内在 的 量 に のみ 依存 する こと を 示し 、 ラテン語 で Theorema Egregium （ 驚異 の 定理 ） と 呼ん だ 。

この 定理 は 、 微分 幾何 学 において ガウス の 基本 定理 、 あるいは 単に ガウス の 定理 と も 呼ば れる 。

ガウス の 定理 ・ ガウス の 法則 ・ ガウス （ 磁束 密度 の 単位 ） ・ ガウス 単位 系 は 彼 の 名 に 因む 。

が 成り立つ （ ド・モアブル の 定理 ） 。

1799 年 に 提出 さ れ た ガウス の 学位 論文 は 、 今日 、 代数 学 の 基本 定理 と 呼ば れる 定理 の 証明 で あり 、 複素数 の 重要 な 特徴 付け を 行う もの だ が 、 複素数 の 概念 を 表 に 出さ ず に 巧妙 に 隠し て 論じ て いる 。

の 4 種類 しか ない （{ 仮 リンク | フルヴィッツ の 定理 ( 代数 学 )| label = フルヴィッツ の 定理 | en | Hurwitz ' s theorem ( composition algebras )}）。

一方 、 カルノー の 定理 により 熱 機関 の 熱 効率 の 上限 { math | η {{ sub | max }}} は で ある 事 が 知ら れ て いる 。

また 、 現在 ベイズ の 定理 として 知ら れ て いる もの も 、 ラプラス が 体系 化 し た もの で ある ので 、 ベイズ より も ラプラス に 端 を 発する という 見方 も 強い 。

他 に は 、 二 国 間 の 物価 差 を 生産 性 格差 で 説明 する 、 Balassa = Sammuelson 定理 が ある 。

標本 化 定理 により 、 最低 で も 音声 に 含ま れる 最も 高い 周波数 成分 の 2 倍 以上 の サンプリング 周波数 を 持た ない 限り 、 高音 の 信号 が 「 折り返さ れ 」 て 、 偽 信号 として 現れる 。

物理 法則 は 、 情報 が もっと 賢い 方法 で 伝播 する こと を も 妨げ て おり 、 これ は 量子 複製 不可能 定理 や { 仮 リンク | 通信 不可能 定理 | en | No - communication theorem } へ と つながる こと に なっ た 。

公理 を 前提 として 演繹 手続き によって 導き ださ れる 命題 は 定理 と よば れる 。

公理 に もとづい て 証明 さ れる 命題 は 定理 と いう 。

以下 に 定理 の 例 を 示す 。

この ため 平行 線 公準 は 公準 で は なく 、 他 の 4 つ の 公理 から 導ける 定理 な の で は ない か という 疑問 が 生じ （ 平行 線 問題 ） 、 証明 が 試み られ た が いずれ も うまく は いか なかっ た 。

しかし ゲーデル の 不完全性 定理 によって 「 普通 の 数学 」 ( 自然 数 論 ) を 展開 できる よう な 公理系 で は （ 体系 が 無矛盾 で ある 限り ） その 無矛盾 性 を 与え られ た 公理系 だけ から は 証明 でき ない こと が 示さ れ 、 ヒルベルト が 思い描い た 形 で の ヒルベルト ・ プログラム は 実現 不可能 で ある こと が 明らか に なっ て しまっ た 。

公理 と は 前提 として 任意 に 選ば れ た 論理 式 に すぎ ず 、 その 論理 式 から 単なる 記号 操作 で 得 られる 論理 式 が 定理 で ある という 立場 を とる 論理 学者 や 数学 者 も いる 。

現実 世界 における 点 や 直線 、 平面 の 形 を し た もの や それら の 間 の 関係 性 を 調べる こと は 、 ユークリッド 幾何 学 の 意味 ( セマンティックス ) を 推察 する 助け に は なる が 、 公理 に もとづく 定理 の 推論 （ ユークリッド 幾何 の シンタックス ） が そこ から 直ちに 従う わけ で は ない こと に なる 。

選択 公理 を 認める こと で 様々 な 強力 な 定理 ( 帰納的 順序 集合 における 極大 元 の 存在 、 ベクトル 空間 の 基底 の 存在 、 代数 的 閉包 の 存在 、 従順 群 上 の 不変 汎 関数 の 存在 など ) が 証明 できる 。

いっぽう で 選択 公理 を 認め て しまう と 一見 直観 に 反し て い て 逆理 で ある か の よう な 定理 （ バナッハ・タルスキ の 逆理 、 非 可 測 集合 の 存在 ） が 成立 し て しまう 。