ベイズ の 定理 と 組み合わせ て 確率 的 推論 を 行う 方法 が ラプラス によって 始め られ 、 現在 言う ところ の ベイズ 統計 学 の 端緒 と なっ た 。
また ベイズ の 定理 を 用い 、 事前 確率 及び 尤 度 を 仮定 し た 下 で 事後 確率 を 与える 、 という 相対 的 な メカニズム を 主張 し て いる 。
三角 不等式 は 、 実数 全体 や ユークリッド 空間 を はじめ と する 内積 空間 において は 定理 として 得 られる 一方 で 、 数学 の さまざま な 場面 で 距離 の 概念 を 導く 公理 の 1 つ として 扱わ れる 。
ベイズ の 定理 から 、 もし 病気 が 稀 な もの なら ば 、 （ 検査 自体 が 正確 でも ） 陽性 の 結果 の 多く が 偽 陽性 という こと も あり うる の が わかる 。
こうして 、 検査 結果 が 陽性 だっ た という 条件下 で 、 それ が 偽 陽性 で ある 確率 を ベイズ の 定理 を 用い て 計算 しよ う 。
この 例 の よう に ベイズ の 定理 は 、 稀 な 条件 における 検査 は 、 1 回 の 検査 で 信頼 の 置ける 結果 を 出せる 高い 正確 性 を 持つ と共に 、 偽 陽性 の 可能 性 を 覚悟 せ ね ば なら ない こと を 教え て くれる 。
偽 陰性 の 確率 も 同様 に ベイズ の 定理 から 計算 する こと が できる 。
一般 の 陪審 員 に ベイズ の 定理 を 説明 する ため に は 、 確率 より も オッズ の 形 （ 有罪 ・ 無罪 の 確率 比 ） で 示す の が 分かり 易い かも しれ ない 。
この 形 で の ベイズ の 定理 は と なる （ ベイズ 因子 は 旧来 の 統計 学 における 尤 度 比 に 相当 する ） 。
また 、 彼 の 名前 は 「 バナッハ ＝ タルスキー の 定理 」 など で 知ら れる 。
同 24 年 に は 、 バナッハ と の 共著 論文 において 、 有名 な 「 バナッハ ＝ タルスキ の 定理 」 を 発表 し て いる 。
その 関係 で タルスキ の 講義 に 接し た ゲーデル は 、 この とき タルスキ と 個人 的 に 会い 、 博士 論文 で 証明 し た 一 階 述語 論理 の 完全 性 定理 について 報告 し て いる 。
この 定理 は 、 後 に タルスキ によって 発展 さ せ られ た モデル 論 において 、 重要 な 意味 を 持つ こと に なる 。
この 書簡 で ゲーデル は 、 後 に 不完全性 定理 として 知ら れる 結果 について 報告 し て いる 。
この ころ 、 形式 言語 における 真理 定義 について 研究 を すすめ て い た タルスキ は 、 自ら も 不完全性 定理 まで あと 一 歩 の ところ まで 迫っ て い た ため 、 この 結果 に 衝撃 を 受け た 。
トポロジー において 不動点 定理 を はじめ と する 多大 な 業績 を 残し 、 また 数学 基礎 論 において は 直観 主義 数学 の 創始 者 として 知ら れる 。
また 、 一致 の 定理 により 正則 関数 は その 特異 点 を 含ま ない 領域 へ 一意的 に 拡張 （ 解析 接続 ） する こと が できる 場合 が ある 。
正則 関数 に関する 一致 の 定理 に よれ ば 、 局所 的 に 恒等 的 に 等しい 正則 関数 は 大域 的 に 一致 する ため 、 解析 接続 の 概念 は もう少し 一般 に 、 二つ の 正則 関数 h , f の 定義 域 E と D が 共通 部分 E ∩ D を 持つ とき に で ある なら ば 、 h および f は 領域 の 和 集合 E ∪ D まで 広げ た 領域 で 定義 さ れる 正則 関数 と 見なす こと で ある という こと も できる 。
二つ の 解析 接続 が い つ 一致 する か という の は ホモトピー の 言葉 を 使っ て 述べる こと が でき 、 一価 性 定理 （ モノドロミー 定理 ） など が 知ら れ て いる 。
一方 、 局所 的 に 成立 する 関数 等式 は 解析 接続 によって 大域 的 な 議論 に 移し て も 保た れる （ 関数 関係 不変 の 法則 あるいは 定理 ） こと が 知ら れ て おり 、 特徴 的 な 関数 等式 が 判っ て いる Γ 関数 や リーマン ζ 関数 など の 解析 接続 は 、 しばしば 関数 等式 を 用い て 行わ れる 。