この よう な 勾配 は また 、 ベルヌーイ の 定理 から 、 下流 側 に 行く ほど 流速 が 減少 する こと を も 意味 し て いる 。

ただし 標本 化 定理 から これ の 半分 ( N が 偶数 と する と 、 fN / 2 + 1 , ..., fN − 1 ) は 冗長 で ある ので 捨てる か 無視 する 。

すると それぞれ の ベクトル を DFT し て 、 その 結果 同士 を 掛け て 、 そして 逆 変換 する こと で 掛算 の 結果 が 得 られる （ つまり 畳み込み 定理 を 使う ） 。

モー デル の 定理 は 楕円 曲線 の ランク が 常に 有限 で ある こと を 示し て いる が 、 すべて の 曲線 の ランク を 計算 する 効率 的 な 手法 を 与え て は い ない 。

その後 、 モジュラー 性 定理 の 帰結 として 、 Q 上 の すべて の 楕円 曲線 に対して 正しい こと が 証明 さ れ た 。

定理 （{ 仮 リンク | レフシェッツ ( 1 , 1 )- クラス の 定理 | en | Lefschetz theorem on ( 1 , 1 )- classes }） H 2 ( X , Z ) ∩ H 1 , 1 ( X ) の 任意 の 元 は 、 X 上 の 因子 の コホモロジー 類 で ある 。

しかし 、 { 仮 リンク | グリフィス 横断 性 定理 | en | Griffiths transversality theorem } は 、 この アプローチ で は 余 次元 が 高い 部分 多様 体 に対して は 、 ホッジ 予想 を 証明 し 得 ない こと を 示し て いる 。

定理 次数 が p < n で ある ホッジ 類 に対し ホッジ 予想 が 正しい と する と 、 ホッジ 予想 は 次数 が 2 n - p の ホッジ 類 に対して 正しい 。

上記 の 2 つ の 定理 を 結び 合わせる と 、 ホッジ 予想 が 次数 2 n − 2 の ホッジ 類 に対して 正しい こと が 証明 さ れる 。

レフシェッツ ( 1 , 1 )- クラス の 定理 は 、 もし すべて の ホッジ 類 が 因子 の ホッジ 類 によって 生成 さ れる と する なら ば 、 ホッジ 予想 が 成り立つ こと を 意味 する 。

1938 年 に 、 コルモゴロフ が 「 静止 し た 確率 過程 を 整え て 予測 する ため に 基本 定理 を 確立 し た 」 と する 記事 が 出さ れ 、 来 たる 冷戦 期 の 主要 な 軍事 利用 が 示唆 さ れ た 。

古典 力学 で は 、 彼 は { 仮 リンク | コルモゴロフ - アーノルド - モザー の 定理 | en | Kolmogorov – Arnold – Moser theorem } によって 最も よく 知ら れ て いる （ 1954 年 に 最初 に 国際 数 学者 会議 に 提示 さ れ た ） 。

また 、 不定 方程式 論 において も 、 いくつ か の 定理 を 発見 し て いる 。

双子 素数 の 分布 に関して は 初めて 定量 的 な 結果 を 証明 し 、 それ によって 双子 素数 の 逆数 の 和 が 収束 する こと を 証明 し た （ ブルン の 定理 。

例えば 実際 の 物理 は 連続 的 な ローレンツ 変換 に対して は 不変 だ が 、 パリティ 対称 性 の 破れ 、 CP 対称 性 の 破れ （ CPT 定理 より T の 破れ と 同義 ） は 実験 で 観測 さ れ て いる 。

ラムダ 計算 において 、 チャーチ・ロッサー の 定理 を 二 人 で 証明 し た 。

1936 年 に は 、 ゲーデル の 不完全性 定理 を 拡張 さ せ た 。

解析 的 整数 論 で 、 ロッサー の 定理 を 証明 。

ゲーデル の 不完全性 定理 、 チューリング の 計算 理論 、 ドーキンス の 生物 学 、 ポ パー の 認識 論 を 統合 し た 壮大 な 世界 理論 を 模索 し て いる 。

その他 の 業績 として は 、 積分 法 の 平均 値 定理 の 改良 が ある 。