ただし 、 「 フェルマー の 最終 定理 」 の 証明 に 成功 し た アンドリュー ・ ワイルズ は 証明 当時 すでに 42 歳 に なっ て い た ものの 、 その 業績 の 重要 性 から 1998 年 に 45 歳 で 「 特別 賞 」 を 与え られ た 例 が ある 。
フェルマー の 最終 定理 （ フェルマー の さいし ゅうていり 、 Fermat ' s Last Theorem ） と は 、 3 以上 の 自然 数 n について 、 x { sup | n } + y { sup | n } = z { sup | n } と なる 0 で ない 自然 数 ( x , y , z ) の 組 が 存在 し ない 、 という 定理 の こと で ある 。
フェルマー の 大 定理 と も 呼ば れる 。
フェルマー が 驚く べき 証明 を 得 た と 書き残し た と 伝え られ 、 長らく 証明 も 反例 も なさ れ なかっ た こと から フェルマー 予想 と も 称さ れ た が 、 360 年 後 に アンドリュー ・ ワイルズ によって 完全 に 証明 さ れ 、 ワイルズ の 定理 あるいは フェルマー・ワイルズ の 定理 と も 呼ば れる よう に なっ た 。
それら は 数学 的 な 定理 あるいは 予想 で あっ た が 、 限ら れ た 余白 へ の 書き込み で ある ため 、 また 充分 な 余白 が ある 場合 に も 、 フェルマー は その 証明 を しばしば 省略 し た （ たとえば フェルマー の 小 定理 として 知ら れる 書き込み を 実際 に 証明 し た の は ライプニッツ で ある ） 。
その ため 「 フェルマー の 最終 定理 」 と 呼ば れる よう に なり 、 プロ ・ アマチュア を 問わ ず 、 無数 の 数学 者 が その 証明 に 挑ん だ 。
フェルマー 自ら が 1640 年 に 、 以下 の 手法 、 法則 、 定理 を 使い 証明 し た 。
つまり 、 谷山 ・ 志村 予想 が 証明 さ れ た なら ば 、 それ は フェルマー の 最終 定理 が 証明 さ れ た こと を も 意味 する の で ある 。
ピタゴラス の 定理 （ ピタゴラス の て いり 、 Pythagorean theorem ） は 、 直角 三角形 の 3 辺 の 長 さ の 関係 を 表す 等式 で ある 。
三 平方 の 定理 （ さん へ い ほう の てい り ） 、 勾股 弦 の 定理 （ こうこ げん の てい り ） と も 呼ば れる 。
ピタゴラス の 定理 によって 、 直角 三角形 を なす 3 辺 の 内 、 2 辺 の 長 さ を 知る こと が できれ ば 、 残り の 1 辺 の 長 さ を 知る こと が できる 。
例えば 、 直交 座標 系 において 原点 と 任意 の 点 を 結ぶ 線分 の 長 さ は 、 ピタゴラス の 定理 に従って 、 その 点 の 座標 成分 を 2 乗 し た ものの 総和 として 表す こと が できる 。
この 事実 から 、 ピタゴラス の 定理 を 用い て 任意 の 2 点 の 間 の 距離 を 測る こと が できる 。
「 ピタゴラス が 直角 二等辺三角形 の タイル が 敷き詰め られ た 床 を 見 て い て 、 この 定理 を 思いつい た 」 など 幾つ か の 逸話 が 知ら れ て いる ものの 、 この 定理 は ピタゴラス が 発見 し た か どう か は 分から ない 。
バビロニア 数学 の プリンプトン 322 や 古代 エジプト など で も ピタゴラス 数 について は 知ら れ て い た が 、 彼ら が 定理 を 発見 し て い た か どう か は 定か で は ない 。
中国 古代 の 数学 書 『 九 章 算術 』 や 『 周 髀算 経 』 で も この 定理 が 取り上げ られ て いる 。
中国 で は この 定理 を 勾股 定理 、 商 高 定理 等 と 呼び 、 日本 の 和算 で も 中国 で の 名称 を 用い て 鉤股 弦 の 法 （ こうこ げん の ほう ） 等 と 呼ん だ 。
三 平方 の 定理 という 名称 は 、 敵性 語 が 禁じ られ て い た 第 二 次 世界 大戦 中 に 文部省 の 図書 監修 官 で あっ た 塩野 直道 の 依頼 を 受け て 、 数学 者 末 綱 恕 一 が 命名 し た もの で ある 。
この 定理 に は 数 百 通り もの 異なる 証明 が 知ら れ て いる 。
ゆえに 、 ピタゴラス の 定理 の 逆 が 証明 さ れ た 。