数学 において 、 「 補助 定理 」 ( helping theorem ) あるいは 補題 ( lemma ) と は 、 それ 自身 興味 ある ステートメント として より は むしろ 、 より 大きな 結果 の ため の 一 歩 として 使わ れる 、 証明 さ れ た 命題 で ある 。

補題 と 定理 の 間 に 形式 的 な 区別 は 全く なく 、 意図 の 違い で しか ない 。

しかしながら 、 補題 は その ただ 1 つ の 目的 が 定理 の 証明 を 助ける こと で ある マイナー な 結果 - いわば 証明 の 未知 の 一 歩 - で ある と 考える こと が できる 。

これら の 理由 から 射影 幾何 において 成立 する 定理 は 、 初等 幾何 における それ より も 単純 な 形 に 述べる こと が できる よう に なる 。

また 、 円 に関する 定理 の いくつ か は 、 もっと 一般 の 定理 の 特別 の 場合 として 見る こと が できる 。

この よう な 主題 に対する 多大 な 数 の 定理 について の 研究 の 結果 、 射影 幾何 学 の 基本 的 概念 が 理解 さ れ て いく こと に なる 。

円錐 曲線 に関する デザルグ の 研究 は 、 16 歳 年上 の ブレーズ・パスカル の 手ほどき と パスカル が 定式 化 し た パスカル の 定理 を 手がかり として 行わ れ た 。

この とき 、 ユークリッド 幾何 学 で は 似 て いる が 別々 で あっ た 定理 が 射影 幾何 学 の 枠組み で 統一 的 に 扱える 場合 が ある 。

他 に 重要 な 基本 性質 として 、 デザルグ の 定理 と パップス の 定理 が ある 。

次元 が 3 か それ 以上 の 射影 空間 で は 必ず デザルグ の 定理 を 証明 する こと が できる が 、 二 次元 の 場合 は そう で は ない ので 、 デザルグ の 定理 が 成立 する 幾何 と 成立 し ない 幾何 は 分け て 考え なけれ ば なら ない 。

デザルグ の 定理 が 成立 する 場合 に は 、 他 の 定理 と 組み合わせる こと によって 算術 の 基本 演算 を 幾何 学 的 に 定義 する こと が できる 。

得 られる 演算 は 体 の 公理 を 満足 する （ ただし 、 乗法 の 可 換性 を 得る 場合 に は パップス の 定理 が 必要 ） 。

二 次元 の 場合 、 デザルグ の 定理 が 成り立た ない こと で 豊か な 構造 が 存在 する 。

これ は 、 射影 幾何 の 任意 の 定義 あるいは 定理 において 、 「 点 」 と 「 直線 」 、 「— の 上 に ある 」 と 「— を 通る 」 、 「 共 線 」 と 「 共 点 」 、 「 交わり 」 と 「 結び 」 を いっせいに 互いに 入れ替え た とき 、 結果 として 得 られる 命題 は 定理 で あり 、 得 られる 定義 は 意味 の ある もの と なる という もの で ある 。

この とき 得 られ た 定理 や 定義 は 、 もと の もの の 「 双対 」 で ある と 言わ れる 。

三 次元 において も 同様 で 、 点 と 平面 に関する 双対 性 が 成り立つ ので 、 任意 の 定理 において 「 点 」 と 「 平面 」 、 「— を 含む 」 と 「— に 含ま れる 」 を 入れ替える こと で 別 な 定理 に 書き換える こと が できる 。

さて 、 一般 に （ 公理 C 3 の 帰結 として ） 「 同一 平面 上 に ある 任意 の 直線 は 必ず 交わる 」 という 定理 が 成り立つ が 、 これ は そもそも 射影 幾何 学 が 構築 さ れる 指導原理 と なっ た まさに その 命題 そのもの で ある 。

これ は 上述 の 公理系 に パップス の 定理 を 加え て 標 数 2 の 体 上 の 射影 平面 を 除外 する もの で ある 。

父 は イェール 大学 の 数学 科 教授 を 務め 、 経済 学 の 一般 均衡 理論 の 基礎 と なる 多 価 写像 の 不動点 定理 を 証明 し た 角谷 静夫 。

米田 の 補題 （ よね だの ほ だい 、 Yoneda lemma ） と は 、 小さな hom 集合 を もつ 圏 C について 、 共 変 hom 関 手 hom ( A ,-) : C → Set から 集合 値 関 手 F : C → Set へ の 自然 変換 と 、 集合 で ある 対象 F ( A ) の 要素 と の 間 に 一対一 対応 が 存在 する という 定理 で ある 。