G が リー 群 で H が 閉 部分 群 （ 従って 、 カルタン の 定理 により リー 部分 群 ） で あれ ば 、 商 写像 は ファイバー バンドル で ある 。

{ 仮 リンク | コボルディズム | en | Cobordism } 理論 を 創始 し た 1 人 で あり 、 { 仮 リンク | トム 空間 | en | Thom space }、{ 仮 リンク | 横断 性 定理 | en | Transversality theorem | label = トム の 横断 性 定理 }、 特性 類 、 特異 点 理論 、 { 仮 リンク | 葉 層 構造 | en | Foliation } 論 、 力学 系 、 ホモロジー 、 ホモトピー の 研究 の 基礎 を 築き上げ た 偉大 な 数学 者 で ある 。

しばしば ランジュバン 方程式 を 解く こと なく 、 多く の 興味深い 帰結 が 揺 動 散逸 定理 によって 得 られる 。

存在 定理 （ そん ざいていり ） と は 、 解 を 具体 的 に 求める 方法 を 示し た もの で は なく 、 解 が 存在 する という こと を 保証 する 定理 の 総称 で ある 。

一般 的 な 理論 の 重み と 成功 は 、 確か に これら の 情報 を すべて 統合 する こと と 、 この 脈絡 で ポアンカレ 双対 と レフシェッツ 不動点 定理 の よう な 一般 的 結果 を 証明 する こと の 双方 に かかっ て い た 。

グロタンディーク の これら の 宇宙 の 使い方 （ この 存在 は { 仮 リンク | ツェルメロ・フレンケル 集合 論 | en | ZFC | FIXME = 1 }( ZFC ) で は 証明 する こと が でき なかっ た ) は 、 （ フェルマー の 最終 定理 の よう な ） エタールコホモロジー や その 応用 が ZFC を 超える 公理 を 必要 と し て いる という 統一 し た 考え方 を 与え た 。

その後 クロード・シュヴァレー 、 オスカー ・ ザリスキ ら が 、 クルル の 理論 を 代数 幾何 に 流用 し 、 コーエン は 完備 局所 環 の 構造 定理 を 確立 。

例えば 、 デザルグ の 定理 に 対応 する の は 座標 環 が 斜体 から 得 られる という こと で あり 、 また パップス の 定理 が 対応 する の は 座標 環 が 可 換体 から 得 られる という こと で ある 。

有限 射影 平面 において デザルグ の 定理 が パップス の 定理 を 含む という 純粋 に 幾何 学 的 な 主張 の 、 しかし 唯一 知ら れ て いる 証明 は 、 斜体 に 成分 を 持つ 座標 を とっ て ウェダーバーン の 定理 （ 有限 可 除 環 は 必ず 可 換体 で ある ） を 用いる という 代数 的 な 方法 によって なさ れる （ 逆 に パップス の 定理 が デザルグ の 定理 を 含む こと は 、 （ 有限 と は 限ら ない ） 任意 の 射影 平面 において 真 で あり 、 しかも これ は 幾何 学 的 に 証明 する こと が できる ） 。

位 数 に関する 一般 的 な 制限 として 知ら れ て いる の は 、 位 数 N が 法 4 に関して 1 または 2 と 合同 なら ば 、 それ は 二つ の 平方 数 の 和 に なら なけれ ば いけ ない という ブルック ＝ ライザー ＝ チョウラ の 定理 で ある 。

そう なる 理由 は 別 な 場所 で 述べる ほう が 適切 で あろ う けれども 、 高次 元 射影 空間 における 接続 の 性質 を 用い て 幾何 学 的 に デザルグ の 定理 を 示せる （ つまり 、 座標 環 が 斜体 と なる ） こと に よる 。

多く の 知識 表現 手法 は 1970 年代 から 1980 年代 初頭 に 試み られ た もの で 、 ヒューリスティック による 質疑 応答 、 ニューラルネットワーク 、 自動 定理 証明 、 エキスパート システム など が ある 。

その よう な 分解 は 一意 で ある こと が 知ら れ て おり 、 イデアル 論 の 基礎 定理 と 呼ば れる 。

その 知見 は 一般 可能 性 定理 （ 不可能 性 定理 ） として 知ら れ て おり 、 合理 的 選択 理論 の うち 特に 社会 的 選択 理論 （ 集合 的 選択 理論 ） と 呼ば れる 分野 を 確立 し た 。

すなわち 、 数学 の 命題 は 一 階 述語 論理 の 論理 式 によって 記述 する こと が でき 、 その よう に 論理 式 で 記述 さ れ た 数学 の 定理 に は ZFC の 公理 から の 形式 的 証明 ( formal proof ) が 存在 する 。

以下 、 健全 性 定理 と 完全 性 定理 以外 の 重要 な 定理 を 列挙 する 。

リンドストレム は 、 一 階 述語 論理 の 拡張 に は 、 レーヴェンハイム・スコーレム の 下降 定理 と コンパクト 性 定理 の 両方 を 満足 する もの が 存在 し ない こと を 示し た 。

この 定理 の 内容 を 精確 に 述べる に は 、 論理 が 満たし て い なけれ ば なら ない 条件 を 数 ページ にわたって 列挙 する 必要 が ある 。

彼ら の 発見 し た 定理 は 、 柴田 ＝ 置塩 の 定理 、 または 置塩 の 定理 と 呼ば れる 。

その間 の 事情 について は 栃木 雅彦 ( 2004 ) 第 1 節 「 置塩 定理 に 至る 論争 の 展開 」 を 見よ 。