ホイットニー の 埋め込み 定理 によって どんな 曲面 で も R 4 に なら 埋め込める 。

放 物 型 方程式 の 漸近 挙動 や 定常 解 の 安定 性 の 理論 的 基礎 付け 、 そこ から 抽象 的 な 構造 を 抽出 し た 順序 保存 力学 系 の 一般 論 の 構築 、 1 次元 単独 放 物 型 方程式 の 解析 を 行う ため の 強力 な 手法 で ある 零 点 数 非 増大 定理 の 一般 論 や 、 爆発 問題 ・ 漸近 挙動 へ の 応用 等 、 非線形 解析 の 多方面 にわたり 、 先駆 的 な 業績 が ある 。

可 換環 と 局所 コンパクト 空間 の 圏 の 同値 性 を 与える ゲルファント・ナイマルク の 定理 は アレクサンドル ・ グロタンディーク による スキーム の 概念 に も 影響 を 与え て いる 。

シェルピンスキ が 集合 論 に 関心 を 持っ た の は 、 「 平面 上 に ある （ 複数 の ） 点 は 一つ の 座標 で 定義 可能 で ある 」 という 定理 に 遭遇 し た から で あっ た 。

この よう に し て 発見 さ れ た 原子 価 について の 定理 は その後 の 化学 における 理論 の 発展 に 支配 的 な 影響 を 与え 、 近代 構造 化学 の 拠り所 と なる 概念 の 基礎 を 作っ た 。

3 次元 ( n = 3 ) の 場合 は 、 「 頂点 数 − 辺 数 + 面 数 = 2 」 の オイラー の 多面体 定理 と なる 。

中心 極限 定理 に よる と 、 母集団 の 分布 が 正規 分布 に 従わ ない と 考え られる 少数 の 標本 で は 、 標本 平均 が 正規 分布 から 遠く 離れる 。

グリーン 関数 や グリーン の 定理 で 知ら れる 。

アル・ファリシ の アプローチ は 、 彼 自身 も 証明 し た 算術 の 基本 定理 で ある 自然 数 の 素因数 分解 の 一意 性 に 基づい た もの だっ た 。

組合せ 的 パターン や 組合せ 的 構造 に 関係 する 定理 が 多く 存在 する 。

この 最後 の 結果 は Bruck - Chowla - Ryser の 定理 と 呼ば れ 、 有限 体 に 基づく 構成 的 手法 と 二 次 形式 の 応用 を 組み合わせ て 証明 さ れ た 。

これ は ラムゼー の 定理 の 特殊 な 場合 で ある 。

さらに 保 型 形式 論 に 応用 し モジュラー 多様 体 における 消滅 型 定理 の 証明 を 与え た 。

さらに ベイズ 確率 に関して は 、 ベイズ の 定理 を 利用 し て ベイズ 推定 の 方法 が 導か れ 、 これ は ベイズ 統計 学 の 基礎 概念 と なっ て いる 。

ベイズ 確率 （ および ベイズ 統計 学 ） は 、 ベイズ の 定理 の 特別 な 場合 を 証明 し た トーマス ・ ベイズ に ちなん だ 命名 （ 実際 の 命名 は 1950 年代 ） で は ある が 、 ベイズ 自身 が 現在 の よう な ベイズ 確率 や ベイズ 推定 の 考え方 を 持っ て い た か どう か は 定か で ない 。

ベイズ 確率 の 考え方 を 積極 的 に 用い た の は ラプラス （ ベイズ の 定理 の 一般 的 な 場合 を 証明 し た ） で 、 それ を 「 土星 の 質量 を 確率 的 に 見積もる 」 という よう な 問題 に 応用 し た 。

ベイズ 推定 は 、 まず 複数 の 仮説 について 尤も らし さ （ 信念 の 度合 ） を 考え 、 実験 や 観測 により 新しい 情報 （ データ ） を 収集 し 、 それら を 組み合わせ て ベイズ の 定理 によって その 確率 を 改訂 する という 点 で 、 科学 的 方法 の モデル として も 提案 さ れ て いる 。

フェルマー の 定理 （ フェルマー の てい り ） は 17 世紀 の 数学 者 ピエール・ド・フェルマー によって 提唱 ・ 証明 さ れ た 定理 の うち 有名 な もの で ある 。

ソリ トン など 可 積分 系 の 研究 、 特に 、 ソリ トン 方程式 の モジュライ が 無限 次元 グラス マン 多様 体 に なる という 佐藤 - 佐藤 の 定理 （ 夫人 と 共著 ） で 有名 。

この 定理 は 可 積分 微分 方程式 に対する ガロア 理論 と 見なす こと が できる 。