これら は 適応 度 地形 に いかなる 仮定 も 持た ない ので 、 進化 的 アルゴリズム が あらゆる タイプ の 問題 で うまく 機能 する と 信じ られ て いる （ ただし 、 ノー フリー ランチ 定理 に 注意 ） 。

数学 の 異なる 分野 で 、 特定 の 条件 を 満たす 写像 が 少なくとも 一つ の 不動点 を 持つ という よう な 、 不動点 の 存在 を 保証 する 定理 が いくつ か 存在 する 。

その よう な 不動点 定理 は 、 一般 論 において 有益 な 視座 を 与え て くれる 最も 基本 的 な 定性的 な 結果 の ひとつ として 利用 さ れる 。

私 が 言っ て い ない こと は 、 私 は 言っ て い ない （" I said what I said . I did not say what I did not say ."） 群 論 において 、 シロー の 定理 （ Sylow theorems ） は 、 有限 群 の 構造 に関する 定理 で ある 。

シロー の 定理 により 、 有限 群 の 位 数 から 部分 群 の 存在 など の 情報 が 得 られる 。

シロー の 定理 は 、 ルートヴィヒ・シロー が 、 1872 年 発表 し た 。

シロー の 定理 より 、 ある 素数 p に対して 、 すべて の シロー p - 部分 群 は 同じ 位 数 pn を 持つ 。

定理 3 による 非常 に 重要 な 結果 として 、 np = 1 という 条件 は 、 「 G の シロー p - 部分 群 は 正規 部分 群 で ある 」 という 条件 と 同値 で ある という もの が ある 。

) 無限 群 に対して も 、 有限 群 の 場合 と 同様 に シロー の 定理 の 類似 を 考える こと が できる 。

定理 : K が G の シロー p - 部分 群 で あり 、 np = | Cl ( K )| が 有限 で ある 場合 、 すべて の シロー p - 部分 群 は K と 共役 で あり 、 np ≡ 1 mod p で ある ( ここ で Cl ( K ) は K と 共役 な 部分 群 の 集合 )。

シロー 部分 群 と シロー の 定理 の 簡単 な 実例 は n 角形 の 二 面体 群 Dn で ある 。

シロー の 定理 を 用いる こと で 、 n = 15 が その よう な 数 で ある こと が わかる 。

{ 仮 リンク | バーン サイド の 定理 | en | Burnside theorem } より 、 ある 群 の 位 数 が 二つ の 素数 の 冪 の 積 で あれ ば 、 その 群 は 可 解 群 で あり 、 特に 単純 群 で は ない 。

1872 年 、 シロー の 定理 を 発表 し た 。

ハイネ・ボレル の 被覆 定理 （ ハイネ・ボレル の ひ ふく て い り ） と は 、 数学 の 定理 で 、 次 の よう な 定理 で ある 。

群論 において 、 ラグランジュ の 定理 （ 英語 ： Lagrange ' s theorem ） と は 、 次 の よう な 定理 で ある 。

ラグランジュ の 定理 に は 、 次 の よう な 系 が ある 。

ラグランジュ は 代数 方程式 の 解法 に 関連 し て 、 多項式 上 の 置換 の 理論 で この 定理 を 証明 し て いる が 、 これ は 現在 の 言い方 で いう 対称 群 の 場合 に あたる 。

ただ その 性質 は 容易 に 抽象 群 へ と 拡張 さ れる もの で 、 現在 でも そのまま ラグランジュ の 定理 と 呼ば れ て いる 。

群論 の 定理 として は 、 歴史 上 最初 に 出現 し た もの で ある 。