ハイネ・カントール の 定理 と は 、 次 の よう な 定理 で ある 。
初等 的 な 集合 論 において 、 カントール の 定理 ( Cantor ' s theorem ) は 次 の よう に 述べ て いる 。
有限 集合 に対して 、 カントール の 定理 は 下 に 与え られる 証明 より も はるか に シンプル な 証明 によって 正しい と 確かめる こと が できる 。
しかし 定理 は 無限 集合 に も 正しい 。
定理 は ドイツ 人数 学者 ゲオルク・カントール ( Georg Cantor ) に ちなん で 名づけ られ て いる 。
したがって 、 唯 一つ の 可能 性 が 残り 、 それ は 、 P ( N ) の 濃度 は N の 濃度 より も 真に 大きい こと で あり 、 カントール の 定理 が 証明 さ れ た 。
エルンスト・ツェルメロ ( Ernst Zermelo ) は 1908 年 に 出版 さ れ た 、 現代 的 集合 論 の 基礎 と なっ た 論文 (" Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I "（ 集合 論 の 基礎 について の 研究 I ）) において 、 上 の 形 に 同一 な （ 彼 が 「 カントール の 定理 」 と 呼ぶ ） 定理 を 持つ 。
カントール の 定理 の 1 つ の 結果 は 、 ベート 数 を 参照 。
この こと を ヤーン・テラー の 定理 と いう 。
ヤーン と テラー は 、 電子 と 原子核 と の 相互 作用 を 、 対称 性 の 高い 配置 から の 原子核 の 変位 について 一 次 の 項 まで を 考慮 に 入れ 、 あらゆる 可能 な 点 対称 の 場合 について 、 群論 的 方法 を 用い 、 しらみ 潰し に 調べる こと によって この 定理 が 成立 する こと 示し た 。
巡回 群 の 基本 定理 は 、 G が 位 数 n の 巡回 群 なら ば G の 任意 の 部分 群 は それ 自身 巡回 群 で ある こと 、 さらに は G の 任意 の 部分 群 の 位 数 は n の 約数 で あっ て 、 n の 各 正 の 約数 k に対して G が 位 数 k の 部分 群 を ちょうど 一つ 持つ こと を 主張 する もの で ある 。
ノー フリー ランチ 定理 （ ノー フリー ランチ て いり 、 { En | no - free - lunch theorem }、{ En | NFLT }） は 、 物理 学者 David H . Wolpert と William G . Macready が 生み出し た 組合せ 最適 化 の 領域 の 定理 で ある 。
この 定理 の 名称 は 、 ハインライン の SF 小説 『 月 は 無慈悲 な 夜 の 女王 』 （ 1966 年 ） で 有名 に なっ た 格言 の { En | There ain ' t no such thing as a free lunch .} に 由来 する 。
右 の 図 は ノー フリー ランチ 定理 を 視覚 化 し た 例 で ある 。
一方 、 この 定理 は 「 あらゆる 問題 で 性能 の 良い 汎用 最適 化 戦略 は 理論 上 不可能 で あり 、 ある 戦略 が 他 の 戦略 より 性能 が よい の は 、 現に 解こ う と し て いる 特定 の 問題 に対して 特殊 化 （ 専門 化 ） さ れ て いる 場合 のみ で ある 」 という こと を 立証 し て いる （ Ho and Pepyne 、 2002 年 ） 。
この 定理 は 、 問題 領域 に関する 知識 を 使わ ず に 遺伝 的 アルゴリズム や 焼きなまし 法 など の 汎用 探索 アルゴリズム を 使う こと に 反対 する 論拠 として 使わ れる 。
他 の 汎用 アルゴリズム に も 適用 さ れ て き た が 、 一般 に ノー フリー ランチ 定理 で カバー でき ない 実 世界 の 大きな サブ セット を 構築 する こと も 可能 で ある 。
ノー フリー ランチ 定理 は 全て の コスト 関数 を 対象 として 成立 する もの で ある 。
また 、 不動点 の 周り で の 線形 近似 は 、 非線形 系 を 理解 する の に 役立つ （ ハート マン ＝ グロブマン の 定理 ） 。
数学 における ポアンカレ・ベンディクソン の 定理 と は 、 平面 上 の 連続 力学 系 における 軌道 の 大域 的 構造 （ 閉軌 道 の 存在 ） に関する 定理 で ある 。