炭素 の 数 が いくつ に なっ て も 5 員 環 の 数 は 12 と 決まっ て おり 、 6 員 環 の 数 だけ が 増え て いく （ オイラー の 多面体 定理 より ） 。

複素 平面 より も リーマン 球面 の 方 が とらえ やすく なる 場合 も ある （ 代数 学 の 基本 定理 の 証明 など ） 。

多く の 定理 は 、 初めて 確立 さ れ た とき に は 小さい サイズ の 行列 に 限っ た 主張 として 示さ れ た 。

例えば ケーリー ＝ ハミルトン の 定理 は 、 ケイリー が 先述 の 回想 録 において 2 × 2 行列 に対して 示し 、 ハミルトン が 4 × 4 行列 に対して 証明 し て 、 その後 の 1898 年 に フロベニウス が 双 線型 形式 について の 研究 の 過程 で 任意 次元 に 拡張 し た 。

階数 退化 次数 定理 は 、 行列 の 核 に 階数 を 加える と 、 その 行列 の 列 の 数 に 等しい こと を 述べる もの で ある 。

有限 次元 の スペクトル 定理 に よれ ば 、 任意 の 実 対称 行列 は 直交 行列 によって 対 角 化 可能 で ある 。

しかし 、 距離 空間 は 一般 の 位相 空間 における 定理 の 意味 を 掴み やすく 、 また 、 位相 空間 論 が 応用 さ れる 集合 は 距離 空間 として 考える こと が できる 空間 が 多い ため 、 距離 空間 は 今 なお 重要 な 概念 で ある 。

関係 モデル における コッド の 研究 から 導き出さ れ た 結果 を { 仮 リンク | コッド の 定理 | en | Codd ' s theorem } と も 呼び 、 関係 代数 と 関係 論理 の 表現 能力 が 等しい （ さらに 基本 的 に は 一 階 述語 論理 とも 等しい ） こと を 示し た もの で ある 。

というのも 、 フロベニウス の 定理 に 従え ば H は 実数 の 全体 R を 真 の 部分 環 として 含む 有限 次元 可 除 環 の 二 種類 しか ない うち の 一つ （ もう 一つ は 複素数 の 全体 C ） だ から で ある 。

アルティン・ウェダーバーン の 定理 （ の ウェダーバーン の 部分 ） によって 、 任意 の 中心 的 単純 環 は 何らかの 斜体 上 の 行列 環 と なる から 、 従って 四 元 数 体 が 実数 体 上 で 唯一 の 非 自明 な 多元 体 で ある こと が わかる 。

（ 3 次元 ） ポアンカレ 予想 （ ポアンカレ よ そう 、 Poincaré conjecture ） と は 、 数学 （ 位相 幾何 学 ） における 定理 の 一つ 。

この 意味 で は 、 圏 論 を モノイド の 概念 の 一般 化 で ある と 考える こと が でき 、 モノイド に関する 定義 や 定理 の 多く を （ ひとつ または それ 以上 の 対象 を 持つ ） 小さい 圏 に対して 一般 化 する こと が できる 。

また 、 M { sub | p } の 最大 の 素因数 q は q ≧ c { sub | 5 } p log p （ c { sub | 5 } は 計算 可能 な 定数 ） を 満足 する （ Erdős - Shorey の 定理 1 ） 。

この 定理 は すでに 紀元前 4 世紀 の エウクレイデス （ ユークリッド ） によって 証明 さ れ て い た 。

また 選択 公理 より も 弱い 単項 フィルター 補題 から 、 与え られ た 一つ の ベクトル 空間 { mvar | V } において 任意 の 基底 が 同じ 数 の 元 （ あるいは 濃度 ） を 持つ こと が 示さ れ （ ベクトル 空間 の 次元 定理 ） 、 その 濃度 を ベクトル 空間 { mvar | V } の 次元 { math | dim V } と 呼ぶ 。

無限 次元 の 場合 の 対応 する 主張 で ある スペクトル 定理 に 達する に は 、 函数 解析 学 の 道具立て が 必要 で ある 。

これ により 、 第 一同 型 定理 （ 線型 代数 学 的 な 言い方 を すれ ば 階数 退化 次数 定理 ） は 函数 { mvar | ƒ } の 導 函数 が （ 例えば { math | ƒ {{'}{'}( x ){ sup | 2 }}} の よう な 項 が 現れ ない という 意味 で ） 線型 に 現れ て いる 。

基礎 を 成す ハーン・バナッハ の 定理 は 、 適当 な 位相 線型 空間 を 連続 汎 函数 によって 部分 空間 に 分ける こと に 関係 する もの で ある 。

ストーン ＝ ヴァイアシュトラス の 定理 により 、 { math |[ a , b ]} 上 の 任意 の 連続 函数 は 適当 な 多項式 列 により いくら で も 近く 近似 できる 。

より 一般 に 、 また より 概念的 に 言え ば 、 これら の 定理 は 「 基本 函数 族 」 と は 何 で ある か という こと を 端的 に 記述 する もの に なっ て いる 。