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ポアンカレ・ベンディクソン の 定理 は 次 の よう な 事 を 示し て いる 。

しかしながら この 定理 は 、 1 次 や 2 次 でも カオス 的 挙動 が 確認 さ れ て いる 離散 力学 系 に対して は 適応 する こと は 出来 ない 。

より 弱い 仮定 で の 定理 は ポアンカレ によって 不完全 で ある が 示さ れ た 。

のち に ベンディクソン ( 1901 年 ) が この 定理 に対して 完全 な 証明 を 与え た 。

ポアンカレ・ベンディクソン の 定理 に は いくつ か の 表現 方法 が ある が 、 その 一つ を 挙げる 。

つまり 、 この 定理 により 閉軌 道 が 存在 する こと が わかる 。

この 定理 は 、 3 次元 以上 の 場合 や 、 離散 力学 系 で は 成立 し ない 。

2 次元 相 空間 の 場合 は 、 ポアンカレ・ベンディクソン の 定理 ( または ベンディクソン の 定理 ) によって リミット サイクル 軌道 の 存在 ( または 非 存在 ) を 予見 できる 。

リエナール の 定理 から 、 リミット サイクル の 存在 を 示す こと が できる 。

1936 年 東京大学 理学 博士   論文 の 題 は 「 一般 單項 化 定理 に 就 て 」 。

宇宙 人 ( 地球 外 生命 体 ) が 発見 さ れ て い ない ため 現在 ( 21 世紀 初頭 ) の ところ 空想 の 領域 で は ある が 、 他 の 文明 へ の メッセージ は 数学 や 物理 学 といった 全 宇宙 に 共通 の 定理 を 基礎 に し た もの が 用い られる だろ う と 考え られ 、 そうした メッセージ の 捜索 が 続け られ て いる 。

特に 完全 競争 市場 における 一般 均衡 価格 体系 の 存在 証明 をめぐって 、 世界 の 数理 経済 学者 達 が 熾烈 な 競争 を 行っ て い た 1950 年代 前半 、 この 問題 の 本質 が 市場 の 超過 需要 関数 が 「 0 次 同 次 性 」 「 ワル ラス 法則 」 「 連続 性 ( 対応 の 場合 は 上 半 連続 性 ) 」 を すべて 満たす か どう か に 帰 する こと を 、 デイヴィッド・ゲール と ほぼ 同時に そして 独立 に 発見 し 、 両者 の 成果 は 「 Gale - 二 階 堂 の 補題 」 という 名 の 定理 で 知ら れ て いる 。

力学 系 において 、 リエナール の 定理 ( Liénard ' s theorem ) と は リミット サイクル の 存在 を 示す 定理

さらに 、 研究 面 で は 関門 橋 の 原型 と なっ た 下関 海峡 横断 吊り橋 の 設計 、 鉄筋コンクリート の ため の セメント 用法 実験 、 日本 で 初めて カスチリアノ の 定理 を 用い た 不 静 定 構造 の 解法 を 解説 する など の 業績 を 残し て いる 。

無限 遠 点 の 概念 など 射影 幾何 学 の 基本 概念 を 確立 し 、 射影 幾何 学 の 最初 の 定理 で ある デザルグ の 定理 を 証明 し た 。

しかし 射影 幾何 学 は 非 ユークリッド 幾何 学 へ と 繋がる 新た な 概念 で あり 、 独創 的 な 定理 を 新しい 用語 で 表し た 彼 の 研究 は 、 ほとんど 他人 から 理解 さ れ なかっ た 。

交流 の あっ た パスカル ( パスカル の 定理 は デザルグ の 円錐 曲線 に関する 研究 の 基盤 と なっ て いる ) や 、 デカルト ( 解析 幾何 学 を 提唱 し た ) は 理解 し 励まし た が 、 結局 、 約 150 年 後 に ガスパール・モンジュ と その 門下 の ポンス レ によって 再興 さ れる まで 、 ほとんど 忘れ去ら れ て しまっ た 。

ゲーデル は 完全 性 定理 によって 、 一 階 述語 論理 における どんな 理論 も 前者 の 意味 で 完全 で ある こと を 証明 し た 。

有名 な 不完全性 定理 は 、 自然 数 論 を 含む 無矛盾 で 再帰 的 な 理論 が 後者 の 意味 で は 完全 な 体系 に 成り 得 ない 事 を 示し て いる 。

のち に テレビ局 BBC に 就職 し 、 ドキュメンタリー 番組 『 フェルマー の 最終 定理 ―― ホライズンシリーズ 』 にて 各種 の 賞 を 受賞 し た 。