しかしながら 、 その よう な 集計 ルール を 計算 する よう な アルゴリズム は 存在 し ない ため 、 それら の 集計 ルール の 実用 的 な 意味合い は 乏しい こと が 指摘 さ れ て おり 、 アロー の 不可能 性 定理 を かえって 強化 する 結果 と なっ て いる ( Mihara , 1997 , 1999 )。

この 1 階 常 微分 方程式 の 解 の 存在 は 、 ピカール・リンデレフ の 定理 によって 保証 さ れ て いる （ もっと 一般 に 微分 幾何 における フロベニウス の 定理 によって 与え られる ） 。

厚生 経済 学 の 基本 定理 （ こうせい けい ざいがくのきほんていり 、 Fundamental theorems of welfare economics ） と は 、 以下 の パレート 効率 性 と 競争 均衡 配分 の 関係 について 述べ た 2 つ の 定理 の こと で ある 。

私的 所有 制 完全 競争 経済 において 、 需給 法則 に 基づく 価格 メカニズム を通じて パ レート 効率 性 という 望ましい 資源 配分 が 実現 できる こと を 示し て いる という の が 、 厚生 経済 学 の 第 一 基本 定理 に対する 有力 な 見方 で ある 。

この 定理 は アダム ・ スミス の 「 （ 神 の ） 見え ざる 手 」 を 資源 配分 の 文脈 で 理論 的 に 再 構成 し て いる という 見方 も ある 。

また 、 外部 性 や 公共 財 が ある 経済 は 、 古典 的 な 私的 所有 制 経済 に は 含ま れ ない ため 、 この 定理 の 大前提 は 成り立た ず 、 競争 均衡 は 一般 に パレート 効率 性 を 達成 し ない （ この よう な 状態 を 市場 の 失敗 という ） こと に も 注意 し なけれ ば なら ない 。

「 十 分の 見 」 と 「 不十分 の 見 」 、 つまり 論理 一貫 し 疑問 の 余地 を 残さ ない 定理 と 、 伝聞 や 推論 に のみ 基づく 仮説 を 区別 する という 方法 は 近代 実証 学 の 始まり と いえる 。

1980 年 、 { 仮 リンク | リチャード ・ J ・ リプトン | en | Richard J . Lipton } と共に { 仮 リンク | カープ - リプトン の 定理 | en | Karp - Lipton theorem } を 証明 し た 。

この 定理 は 、 多項式 個 の 論理 ゲート を 使っ た { 仮 リンク | ブール 回路 | en | Boolean circuit } で SAT が 解ける なら 、 その 多項式 階層 が 第 2 レベル に 折りたたま れる こと を 証明 し た もの で ある 。

その 論文 で 時間 複雑 性 クラス TIME ( f ( n )) を 導入 し 、 { 仮 リンク | 時間 階層 定理 | en | time hierarchy theorem } を 証明 し た 。

具体 的 な 機械 モデル に 基づい て い ない が 、 この 理論 から { 仮 リンク | 圧縮 定理 | en | compression theorem }、 ギャップ 定理 、 honesty theorem 、 ブラム の 加速 定理 など が 生み出さ れ た 。

アロー の 定理 と は 、 3 つ 以上 の 選択肢 が ある とき 、 上述 し た 社会 選好 に関する 2 つ の 公理 と 民主 制 の ため の 4 つ の 条件 を すべて 満たす 社会 厚生 関数 は 存在 し ない こと を しめし た 定理 で ある 。

定理 の 内容 が 正しく 理解 さ れ た に せよ そう で なかっ た に せよ 、 この 定理 が 「 一般 意思 」 「 社会 的 善 」 「 公共 善 」 「 人民 の 意思 」 といった 主張 に 疑い を 投げかけ た こと は まちがい ない 。

この 定理 を アロー 自身 は 「 一般 可能 性 定理 」 と 呼ん だ 。

しかし この 定理 の もつ 否定 的 含意 から 、 「 アロー の 不可能 性 定理 」 と 呼ば れる の が 一般 的 と なっ た 。

社会 選択 理論 で は 、 アロー の 定理 の 否定 的 結論 から 逃れる こと を 試み て 、 多く の 研究 が 行わ れ て き た 。

したがって アロー の 定理 の 頑強 さ は これら の 結果 によって かえって 強化 さ れ た と いえる {# tag : ref | 無限 人 社会 の 社会 選択 について は 、 Taylor ( 2005 ) の Chapter 6 が コンパクト な 解説 を し て いる 。

Brown の 定理 で 空白 と さ れ た 選択肢 数 が 個人 の 数 未満 で 非 循環 性 だけ を 仮定 し た ケース について は 、 「 中村 ナンバー 」 が 決定的 な 役割 を 持つ 。

社会 選択 関数 について は 、 Gibbard - Satterthwaite の 定理 が よく 知ら れ て おり 、 これ は 3 つ 以上 の 選択肢 を 値域 に ふくむ 社会 選択 関数 が 戦略 的 操作 不能 で ある なら 、 その 関数 は 独裁 的 で ある こと を しめし て いる 。

） モー デル の 定理 は 後 に アンドレ ・ ヴェイユ によって 代数 体 上 の アーベル 多様 体 の 有理 点 の なす 群 に関する モーデル・ヴェイユ の 定理 へ と 拡張 さ れ た 。