以下 モーデル の 定理 を 正確 に 述べる ため に 少し 準備 を する 。

これ は E ( Q )/ 2 E ( Q ) が 有限 群 で ある という 定理 で ある 。

モーデル・ヴェイユ の 定理 ( Mordell – Weil theorem ) は 、 数 体 K の 上 の アーベル 多様 体 A に対し 、 A の K - 有理 点 の 群 A ( K ) が 、 モーデル・ヴェイユ 群 ( Mordell - Weil group ) と 呼ば れる 有限 生成 アーベル 群 で ある という 定理 で ある 。

A が 楕円 曲線 で K が 有理数 体 Q の 場合 を モー デル の 定理 と 言い 、 1908 年 頃 に アンリ・ポアンカレ ( Henri Poincaré ) により 提示 さ れ た 疑問 に 答え た もの で 、 1922 年 に { 仮 リンク | ルイス ・ モー デル | en | Louis Mordell }( Louis Mordell ) により 証明 さ れ た 。

接する 弦 の プロセス ( tangent - chord process )（{ 仮 リンク | 三 次 曲線 | en | cubic curve }( cubic cuve ) における 加法 定理 の 一種 ） は 、 17 世紀 より 知ら れ て いる 。

この クラス に NP と 同様 の 概念 を 当てはめ た クラス 、 すなわち 答え が 与え られ た とき その 検算 が PSPACE に なる NPSPACE という クラス を 考える こと も できる が 、 1970 年 ウォルター・サヴィッチ （ Walter Savitch ） の サヴィッチ の 定理 により PSPACE = NPSPACE という こと が 証明 さ れ た 。

伝統 的 な 標本 調査 は 、 標本 から 中心 極限 定理 と 正規 分布 近似 （ 場合 によって は 正規 分布 に よら ない ノンパラメトリック 推定 も 利用 できる ） を 利用 し て 、 母集団 と 母 数 を 推定 する こと で 行う 。

） 単純 アルティン 環 は 、 アルティン・ウェダーバーン の 定理 により 、 可 除 環 上 の 全 行列 環 に 同型 で ある 。

ディリクレ の 最初 の 論文 は フェルマー の 最終 定理 に関する もの で 、 査読 者 の 一 人 で あっ た ルジャンドル が 完成 する こと に なっ た n = 5 の 場合 の 部分 的 な 証明 を 含ん で い た 。

クリーネ 代数 、 クリーネ 閉包 、 クリーネ の 再帰 定理 、 クリーネ 不動点 定理 の 由来 に なっ て いる 。

発見 者 で ある ディリクレ 自身 、 その よう な 高度 な 技巧 を 経由 する もの で は ない が ディオファントス 近似 に関する 彼 の 定理 を 証明 する ため に この 原理 を 用い て いる 。

また 、 さらに 一般 的 な 数学 的 構造 において も 類似 の 定理 が 数多く 存在 する こと が 知ら れ て いる 。

詳細 は 、 ラムゼー の 定理 および 組合せ 数学 の ラムゼー 理論 の 項 を 参照 。

もちろん 100 万 人 以上 いる ロンドン 市民 の 髪の毛 の 本数 を 全員 チェック すれ ば どの ２ 人 が 同じ 本数 の 髪の毛 を 持つ の か 分かる が 、 この よう な 非 効率 的 な こと を し なく て も 定理 が 証明 できる の が 鳩 の 巣 原理 の 利点 で ある 。

この 特徴 の ため 、 鳩 の 巣 原理 は 定理 を 証明 する 強力 な 道具 に なる 。

しかし 鳩 の 巣 原理 を 使え ば 、 たとえ その よう な 都市 の 数 が 無限 で あっ て も この 定理 が 真 で ある こと を 一瞬 に し て 証明 できる 。

鳩 の 巣 原理 は さらに 一般 化 さ れ 、 グラフ など の より 複雑 な 数学 的 構造 、 また 算術 的 な 関係 など に対して も 類似 の 定理 が 知ら れ て いる （ ラムゼー の 定理 など ） 。

それら を ラムゼー 型 の 定理 と いう 。

彼 は 複素 解析 の 基礎 づけ の ため に この 原理 を 証明 も なし に 使用 し て 、 リーマン 面 上 の 関数 の 存在 定理 を 証明 し た が 、 後に カール ・ ワイエルシュトラス によって ギャップ が 指摘 さ れ た 。

これ だけ 急速 に 増大 する に も かかわら ず 、 グッドスタイン の 定理 は 、 初 項 m が 何 で あろ う と グッドスタイン 数列 は 必ず 0 で 終わる と 主張 する 。