定理 の 証明 の 正当 性 を 検証 する に は 、 証明 の 各 段階 を 原始 再帰 関数 や プログラム で 検証 できる 必要 が あり 、 そう する こと で 問題 は 常に 決定 可能 と なる 。

自動 定理 証明 で 生成 さ れる 証明 は 長大 な もの と なる こと が 多く 、 証明 の 圧縮 { enlink | proof compression } という 問題 が 重要 と なり 、 様々 な 技法 が 考案 さ れ て いる 。

対話 型 定理 証明 機 で は 人間 の ユーザー が システム に ヒント を 与える 必要 が ある 。

定理 証明 と それ 以外 の 区別 の 観点 として 、 公理 から 出発 し て 推論 規則 に従って 推論 を 行い 、 いわゆる 証明 を 行う もの を 定理 証明 と 呼ぶ 。

モデル 検査 的 手法 を 推論 規則 として 利用 する ハイブリッド 型 の 定理 証明 システム も 存在 する 。

また 、 特定 の 定理 を 証明 する ため に 書か れ た プログラム も 存在 し 、 プログラム が ある 結果 を 返し て 終了 し た とき に 定理 が 真 で ある こと が 証明 さ れる 。

その よう な プログラム の 好例 として 四 色 定理 の 計算 機 支援 証明 が ある 。

AMD や インテル は プロセッサ の 設計 検証 に 自動 定理 証明 を 使っ て いる 。

一 階 述語 論理 の 定理 証明 は 自動 定理 証明 の 中 で も 最も 研究 が 進ん で いる 。

さらに 表現 力 の ある 論理 （ 高階 述語 論理 や 様相 論理 ） は 、 さらに 様々 な 問題 を 記述 可能 だ が 、 それら の 定理 証明 は 一 階 述語 論理 ほど 開発 が 進ん で い ない 。

H 定理 は ボルツマン の 時代 から 力学 の 可逆 性 と の 関係 で 活発 な 議論 を 巻き起こし 、 それ が この 定理 の 物理 的 内容 の 理解 を 深め た 。

H 定理 を 巡る これら の 議論 について は 項目 H 定理 を 参照 の こと 。

この よう に 、 コーシー 分布 の 算術 平均 の 分布 は 正規 分布 に 近づか ない こと が 言える ため 、 中心 極限 定理 における 有限 分散 の 仮定 は 必須 で ある こと が わかる 。

また 、 これ は 安定 分布 族 （ コーシー 分布 は 安定 分布 族 に 含ま れる ） における 一般 化 中心 極限 定理 の 例 で も ある 。

チェビシェフ の 不等式 （ チェビシェフ の ふとう しき ） は 、 不等式 で 表さ れる 、 確率 論 の 基本 的 な 定理 で ある 。

事後 確率 は ベイズ の 定理 により 、 事前 確率 に 尤 度 関数 を 掛け て 得 られる 。

ベイズ の 定理 を 応用 し 、 事前 確率 に 尤 度 関数 を かけ て 規格 化 する （ 合計 量 または 積分 量 を 1 と する ） こと で 、 事後 確率 分布 が 得 られる 。

ベイズ の 定理 により 、 事前 確率 に 尤 度 関数 の 出力 値 を 掛ける と 事後 確率 が 得 られる 。

ベイズ の 定理 の 特殊 な 場合 について の 証明 が 死後 発表 さ れ た こと で 知ら れる 。

ガウス = マルコフ の 定理 （ ガウス ＝ マルコフ の てい り ） と は 、 ある パラメタ を 観測 値 の 線形 結合 で 推定 する とき 、 残 差 を 最小 に する よう な 最小 二 乗法 で 求め た 推定 値 が 、 不偏 で 最小 の 分散 を 持つ こと を 保証 する 定理 で ある 。