これら の 定理 は 適当 な 基底 函数 族 が 近似 の 目的 で 十分 性 を 示す こと のみ なら ず 、 シュミット の 直交 化 法 を 用い て 互いに 直交 する ベクトル の 族 から なる 基底 が 得 られる こと も 意味 し て いる 。

スペクトル 定理 は 、 函数 に 作用 する 線型 コンパクト 作用素 を 、 それら の 固有値 と 固有 函数 を 用い て 分解 する こと を 述べる もの で ある 。

例えば 、 ストーン ＝ ヴァイアシュトラス の 定理 （ 上述 ） は 、 バナッハ 空間 に も 多元 環 に も なっ て いる バナッハ 環 において 成立 する 。

ゲーム 理論 の ミニマックス 定理 は 全て の プレイヤー が 最適 な 試行 を 行う こと が できる なら ば 一意的 な ペイ が 得 られる こと を 述べる もの で 、 これ は ベクトル 空間 法 を 用い て 証明 できる 。

また 、 基本 解 は 真 の 函数 で なく シュヴァルツ 超 函数 解 （ 弱 解 ） と なる の が ふつう で あり 、 弱 解 から 所期 の 境界 条件 を 満たす 方程式 の 真 の 解 を 求める に は 、 見つかっ た 弱 解 が 実際 に 真 の 函数 と なる こと を 確かめれ ば よく 、 証明 でき た 場合 に は それ が もと の 方程式 の 真 の 解 で ある （ 例えば リース の 表現 定理 の 帰結 で ある ラックス・ミルグラム の 定理 が 利用 できる ） 。

これ は フーリエ 係数 の 計算 だけ で なく 、 畳み込み 定理 を 用い て 、 二つ の 有限 列 の 畳み込み を 計算 する の に も 利用 できる 。

対照 的 に 、 毛 玉 の 定理 により 、 二 次元 球面 { math | S 2 } 上 の 接 ベクトル 場 で 至る 所 消え て い ない 者 は 存在 し ない 。

深い 位相 的 かつ 幾何 学 的 な 観察 に 加え て 、 この 理論 に は 実 有限 次元 多元 体 の 分類 （ その よう な もの は { math | R , C } の ほか は 四 元 数 体 { math | H } と 八 元 数 体 { math | O } しか ない ） という よう な 純 代数 学 的 な 帰結 も 存在 する （ フルヴィッツ の 定理 を 参照 ） 。

楕円 関数 論 の アーベル の 定理 と は 、 楕円 関数 の 極 と 零 点 に関する 合同 式 で ある 。

ヤコビ は アーベル の 定理 を 利用 し て ヤコビ の 逆 問題 を 示し て 、 その後 の 研究 の 目標 を 新た に 与える こと に なる 。

無限 級数 の 収束 に関する アーベル の 定理 も 著名 だ が 、 他 に も 無限 級数 の 一様 収束 を 初めて 注意 し た こと で 知ら れる 。

バッキンガム の Π 定理 （ Buckingham Π theorem ） と は 、 数理 物理 学 の 分野 において 、 次元 解析 の 基礎 と なる 理論 で ある 。

大雑把 に 言う と 、 物理 的 な 関係 式 が 物理 変数 を n 個 含み 、 それら の 変数 が k 種類 の 独立 な 基本 単位 を 持つ なら ば 、 その 式 は 元 の 物理 変数 で 構成 さ れる p = n − k 個 の 無 次元 パラメータ を 含む 式 と 等価 で ある という 定理 で ある 。

この 定理 により 、 与え られ た 物理 変数 から 、 たとえ 関係 式 の 形 が 不明 で あっ て も 無 次元 パラメータ を 求める こと が できる 。

バッキンガム の Π 定理 は 無 次元 パラメータ を 求める 方法 を 与える だけ で あり 、 物理 的 に 意味 の ある もの を 選ぶ わけ で は ない 。

環 の 概念 は 、 1880 年代 の デデキント に 始まる 、 フェルマー の 最終 定理 に対する 証明 の 試み の 中 で 形成 さ れ て いっ た 。

特に 、 定義 から ( R , +) は アーベル 群 で ある から 、 加法 単位 元 の 一意 性 や 各 元 に対する 加法 逆 元 の 一意 性 など 群論 の 定理 を 適用 し て 得 られる 性質 は たくさん ある 。

有限 群 と し て みれ ば 、 分類 の 難し さ は m の 素因数 分解 の 難し さ に 依存 する （ アーベル 群 の 構造 定理 ） 。

この こと は ジョセフ・ウェダーバーン が 1905 年 と 1907 年 に 確立 し た 二つ の 定理 から 従う 。

定理 の 一つ は 、 ウェダーバーン の 小 定理 として 知ら れる 、 任意 の 有限 可 除 環 は 必ず 可 換 で ある という もの で ある 。