リーマン・ロッホ の 定理 は 、 この 影響 の 第 一 の 例 で ある 。

中心 極限 定理 に よる と 、 測定 値 の 平均 の 確率 分布 は 個々 の 測定 値 の 分布 より も 中心 に 集まる 。

周波数 領域 で は 標本 化 定理 により 標本 化 の 限界 が 定まる 。

これ を 正弦 定理 と いう 。

4 つ の 辺 の 長 さ を a , b , c , d 、 対角線 の 長 さ を p , q と する と 、 ac + bd = pq が 成り立つ （ トレミー の 定理 ） 。

シャノン ＝ ハー トレー の 定理 に よれ ば 、 信頼 できる 通信 の データ 転送 レート は 、 通信 に 使わ れる 周波数 の 幅 に 比例 する 。

デジタル 信号 処理 で は 、 帯域 幅 は 標本 化 定理 に従って サンプリング 周波数 と 関連 し て いる 。

デジタル 通信 路 に 加算 性 ホワイトガウスノイズ が ある とき 、 シャノン ＝ ハー トレー の 定理 により 、 通信 路 の 帯域 幅 （ 伝送 路 容量 ） と S / N 比 の 関係 が 示さ れる 。

ここ にて 、 情報 戦 の 定理 を 紹介 する 。

情報 戦 ( ヤコブ ) の 定理 情報 戦 と は 交渉 の 優位 性 を 最大限 に 引き出す 事 で ある 。

アティヤ ＝ シンガー の 指数 定理 ( Atiyah – Singer index theorem ) と は 、 スピン c 多様 体 の 上 の 複素 ベクトル 束の間 の 楕円 型 微分 作用素 について 、 解析 的 指数 と 呼ば れる 量 と 位相 的 指数 と 呼ば れる 量 と が 等しい という 定理 で ある 。

従って 指数 定理 は 解析 学 と 幾何 学 という 見かけ 上 異なっ た 体系 の 間 の つながり を 与え て いる という 意味 で 20 世紀 の 微分 幾何 学 における 最も 重要 な 定理 と も いわ れる 。

本稿 で 述べる 形 の 指数 定理 は マイケル・アティヤ と イサドール・シンガー によって 1963 年 に 発表 さ れ 、 1968 年 に 証明 が 刊行 さ れ た 。

指数 定理 の 特別 な 場合 として 、 以前 から 知ら れ て い た ガウス・ボンネ の 定理 や ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホ の 定理 （{ 仮 リンク | フリードリッヒ・ヒルツェブルフ | en | Friedrich Hirzebruch | label = ヒルツェブルフ } の リーマン・ロッホ の 定理 ） など が 含ま れ て いる と 理解 できる 。

さらに 、 1950 年代 の 終わり に 得 られ て い た { 仮 リンク | グロタンディ － ク・ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホ の 定理 | en | Grothendieck – Hirzebruch – Riemann – Roch theorem | label = グロタンディ － ク・リーマン・ロッホ の 定理 }（ グロタンディーク の リーマン・ロッホ の 定理 ） は この 定理 の 定式 化 に 大きな 影響 を 与え た と さ れ 、 グロタンディーク が 代数 多様 体 に対して 用い た K 理論 の 構成 を 微分 多様 体 に対して 実行 する こと が 指数 定理 の 定式 化 ・ 証明 における 重要 な ステップ を なし て いる 。

また アティヤ - シンガー による 枠組み の 一般 化 として 群 が 作用 し て いる 場合 や 、 楕円 型 微分 作用素 を 持つ 多様 体 が 、 ある 多様 体 によって パラメーター 付け さ れ た 族 として 与え られ て いる 場合 、 葉 層 構造 によって パラメーター 付け が 与え られ て いる 場合 など に 指数 定理 が 一般 化 さ れ て いる 。

この 定理 の 研究 から 、 アティヤ と シンガー は 2004 年 に アーベル 賞 を 受賞 し た 。

したがって 指数 定理 と は （ K 向き 付け の 与え られ た ） 滑らか な 写像 f : M → N が 引き起こす 二つ の 指数 写像 Inda ( f ), Indt ( f ): K *( M ) → K *( N ) の 一致 として 定式 化 さ れる 。

こうして 多様 体 の 族 に関する 指数 定理 を 述べる こと が でき 、 N が 一 点 の 場合 が 上記 の Atiyah - Singer の 指数 定理 に 相当 する 。

群 作用 が ある 場合 や 、 族 が 葉 層 構造 によって 与え られ て いる 場合 の 指数 定理 は これら の 構成 を 適切 な カテゴリー に 拡張 する こと によって 述べ られる 。