アティヤ ＝ シンガー の 指数 定理 は ゲージ 理論 において 、 反 自己 共役 接続 の モジュライ 空間 の 形式 的 な 次元 の 計算 など さまざま な 部分 に 応用 さ れる 。

Atiyah - Singer の 定理 を 使う と 、 アノマリー に 幾何 学 的 な 意味 を 与える こと が できる 。

ヒルツェブルフ の 符号 定理 は 、 次元 4 k の コンパクト な 滑らか な 多様 体 X の 符号 は 多様 体 の { 仮 リンク | L - 種 数 | en | L genus }( L genus ) で ある という 定理 で ある 。

この こと は 指数 定理 から 導く こと が でき 、 スピン 多様 体 にたいする Â 種 数 は ディラック 作用素 の 指数 で ある こと を 意味 する 。

指数 定理 の 多く の 証明 が 、 微分 作用素 と いう より も 擬微 分 作用素 を 使う 理由 は 、 多く の 目的 の ため は 微分 作用素 は 充分 で は ない から で ある 。

最初 の 証明 は ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホ の 定理 ( 1954 ) の 証明 を 基礎 として い て 、 { 仮 リンク | コボルディズム | label = コボルディズム 論 | en | cobordism theory }( cobordism theory ) や 擬微 分 作用素 を 内包 し て い た 。

この 定理 は 1899 年 に Georg Alexander Pick によって 初めて 示さ れ 、 エルハート 多項式 により 三 次元 以上 に 拡張 し て 一般 化 する こと が できる 。

上 に 述べ た この 定理 は 、 単純 な 多角 形 、 つまり 単一 の 図形 で あり 穴 が 開い て い ない もの に のみ 適用 可能 で ある こと に 注意 さ れ たい 。

ピック の 定理 が P と T において 夫 々 成り立つ と 仮定 し 、 P に T を 付加 し た 多角 形 PT において も 同 定理 が 成り立つ こと を 示そ う 。

ここ で 、 同 定理 が P と T で 独立 に 成り立つ と 仮定 し た から 、 従って 、 同 定理 が n 個 の 三角形 で でき て いる 多角 形 について 成り立つ の で あれ ば 、 n + 1 個 の 三角形 で でき て いる 多角 形 について も 成り立つ こと が わかる 。

そこで 、 同 定理 が 任意 の 三角形 について 成り立つ こと を 示せ ば 、 数学 的 帰納 法 により 証明 が 完結 する 。

最後 の 段階 で は 、 多角 形 PT と 三角形 T について 同 定理 が 成り立て ば 、 P について も 成り立つ こと を 使う 。

現代 において は （ 特に 計算 機 科学 の 文脈 で モデル 検査 、 自動 定理 証明 など の ソフトウェア を 扱う 場合 ） 、 （ 論理 ） 式 と いえ ば 代数 学 的 な 概念 と さ れ 、 well - formedness すなわち （ 論理 ） 式 を 表す 具体 的 文字 列 表現 の 規定 （ 結合 子 や 量 化 子 に どの 記号 を 用いる か 、 どの よう な 括弧 の 使い方 に する か 、 ポーランド 記法 か 中置 記法 か など ） は 単なる 記法 の 問題 と さ れる こと が 多い 。

正規 形 として は 、 自動 定理 証明 で 利用 さ れ て いる 。

正規 形 として は 、 自動 定理 証明 で 利用 さ れ て いる 。

以上 の 5 組 の 規則 （ 交換 、 結合 、 分配 、 同一 性 、 相補 性 ） が 集合 の 代数 学 の 基本 で あり 、 これら から 全て の 集合 の 代数 学 の 定理 が 生まれる 。

素数 分布 を ある程度 正確 に 記述 する 素数 定理 は 、 後 の 1896 年 に { 仮 リンク | ド・ラ・ヴァレ・プーサン | en | Charles Jean de la Vallée - Poussin } と アダマール によって 独立 に 示さ れ た 。

リンニック の 定理 は （ リンニック の てい り ） 、 解析 的 整数 論 の 一 定理 で あり 、 以下 の よう に 述べ られる 。

この 定理 は 、 1944 年 に で { 仮 リンク | ユーリ・リンニック | en | Yuri Vladimirovich Linnik }( Yuri Vladimirovich Linnik ) により 証明 さ れ た ので 、 彼 の 名前 に 因ん で いる 。

数学 の 抽象 代数 学 において 、 フロベニウス の 定理 （ ふろ べ に うす の て いり ） と は 、 実数 体 上 の 有限 次元 の 結合 的 多元 体 を 特徴付ける 定理 で あっ て 、 ドイツ の 数学 者 フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス によって 1877 年 に 証明 さ れ た 。