例えば 、 任意 の PID は UFD で ある 、 すなわち 算術 の 基本 定理 の 対応 物 が 任意 の PID で 成立 する 。

実質 的 に 算術 の 基本 定理 の 類似 を 満たす 環 が 一意 分解 環 という こと に なる 。

ゆえに 、 整数 環 Z が UFD と なる という の は 、 自然 数 について の （ 本来 の ） 算術 の 基本 定理 から の 簡単 な 帰結 で ある 。

有限 体 は 常に 可 換体 で ある （ ウェダバーン の 定理 ） 。

同 時期 に 、 スティーヴン ・ ホーキング と ロジャー・ペンローズ が 特異 点 定理 を 発表 し 、 数学 的 ・ 物理 的 に 進展 を 始める と共に 、 ジョン ・ ホイーラー ら が 、 古典 重力 ・ 量子 重力 双方 に 物理 的 な 描像 を 次々 と 提出 し 始め た 。

準 同型 h : S → T の 余 像 Coim ( h ) は h の 像 Im ( h ) = h ( S ) と 同型 で ある という 命題 を 準 同型 定理 と いう 。

S , T が 群 、 環 、 環 上 の 加 群 など の とき に は 確か に 準 同型 定理 が 成り立つ 。

ENS の 学生 だっ た ころ 、 友人 の ラウル・ユッソン が 新入生 を だます ため に 付け髭 を つけ て 講義 を 始め て 、 最後 に は 高度 な レベル まで 話 を 飛躍 さ せ 、 架空 の ｢ ブルバキ の 定理 」 で 話 を 締めくくっ た 。

「 市場 の 失敗 に 対策 を 立て た 場合 、 市場 に 任せ て おけ ば 効率 的 な 資源 配分 が 達成 さ れる 」 という 「 厚生 経済 学 の 基本 定理 」 という 命題 が ある 。

もし 1 を 素数 の 定義 に 含め た と する と 、 算術 の 基本 定理 （ 素因数 分解 の 可能 性 ・ 一意 性 、 すなわち 「 1 で ない 自然 数 は 、 素数 の 積 に 、 素因数 の 順序 を 除い て 一意 に 表さ れる 」 を 述べ た 定理 ） において 、 素因数 分解 の 可能 性 は 成り立つ が 一意 性 は 成り立た なく なる という こと が 起き て しまう 。

その 表し 方 は 積 の 順序 を 除け ば 一意 で ある 」 という 、 素因数 分解 の 可能 性 ・ 一意 性 が 成立 する （ 算術 の 基本 定理 ） 。

1640 年 に 、 ピエール・ド・フェルマー は フェルマー の 小 定理 を （ 未 証明 で は ある が ） 述べ た 。

この 定理 は 後 に ライプニッツ と オイラー によって 証明 さ れ た 。

これ に関して 、 次 の 素数 定理 は 有名 で ある 。

この 定理 は 1896 年 に 、 アダマール と ド・ラ・ヴァレ・プサン によって 独立 に 証明 さ れ た 。

次 の よう な 定理 も ある 。

代数 学 の 基本 定理 （ だい すう がく の き ほん て いり 、 fundamental theorem of algebra ） は 「 次数 が 1 以上 の 任意 の 複素 係数 一 変数 多項式 に は 複素 根 が 存在 する 」 という 方程式 論 の 定理 で ある 。

は 複素数 の 根 を （ 重複 度 込み で 考えれ ば ） ちょうど n 個 持つ 」 という 事実 を 導く ので 、 この こと を 指し て 代数 学 の 基本 定理 と 呼ぶ こと も ある 。

後年 ガウス は この 定理 に 3 つ の 異なる 証明 を 与え た 。

集合 論 において ツォルン の 補題 （ ツォルン の ほ だい 、 Zorn ' s lemma ） または クラトフスキ・ツォルン の 補題 （ クラトフスキ・ツォルン の ほ だい ） と は 次 の 定理 を いう 。