デザルグ の 定理 を 射影 幾何 学 の 命題 と かんがえる とき 、 デザルグ の 定理 の 双対 は デザルグ の 定理 の 「 逆 」 で あり 、 この こと を 指し て デザルグ の 定理 は 自己 双対 的 ( self - dual ) で ある と いう 。

デザルグ の 定理 は 、 一般 に 3 以上 の 次元 の 射影 幾何 学 が 、 ある 体 D 上 の 線型 空間 の 1 次元 部分 空間 全体 が 作る 通常 の 射影 空間 P ( D ) という “ 係数 を 持つ ” 幾何 学 で ある こと を 示す 。

一方 、 平面 射影 幾何 学 で は 射影 幾何 学 の 公理 と デザルグ の 定理 は 独立 な 命題 で あり 、 デザルグ の 定理 の 成立 し ない 非 デザルグ 幾何 ( non - Desarguesian geometry ) と 呼ば れる 射影 幾何 学 を 構成 する こと が できる 。

もっと 一般 に 、 楕円 函数 の 研究 は モジュラー 函数 と モジュラー 形式 の 研究 と 近しい 関係 に あり 、 又 その 関係 性 は モジュラー 性 定理 によって 明らか に さ れ た 。

揺 動 散逸 定理 （ よ うど うさんい つて いり 、 fluctuation - dissipation theorem , FDT ） と は 、 「 熱 力学 的 平衡 状態 に ある 系 が 外部 から 受け た わずか な 摂動 に対する 応答 （ 線形 近似 できる と する ） が 、 自発 的 な ゆらぎ に対する 応答 と 同じ で ある 」 という 仮定 から 導か れる 、 統計 力学 の 定理 で ある 。

一般 的 な 揺 動 散逸 定理 は 、 熱 平衡 状態 における 微視的 な 分子 運動 と 、 巨視的 に 観測 できる 応答 と の 関係 を 示す もの で あり 、 線形 モデル で 物質 の 微視的 性質 を 説明 する 線形 応答 理論 によって 説明 さ れる 。

揺 動 散逸 定理 は 古く から 特殊 な 場合 について 知ら れ て おり 、 その 例 を 以下 に 挙げる 。

L , C , R による 受動 素子 のみ を 用い た アッテネータ は 線型 回路 で あり 相反 定理 が 成り立つ ので 入出力 の 区別 は 無い が 、 右 図 および 以下 の 説明 に対して 説明 上 、 左 （ 1 側 ） を 入力 、 右 （ 2 側 ） を 出力 と 称する 。

ここ で 彼 が 証明 し た こと は 、 「 三 辺 の 長 さ が 有理数 で ある 直角 三角形 の 面積 は 平方 数 に なら ない 」 という 定理 で あり 、 言い換える と 「 1 は 合同 数 で は ない 」 という こと で ある 。

この 証明 中 に 、 不定 方程式 x 4 - y 4 = z 2 が 非 自明 な 整数 解 を 持た ない こと （ これ より フェルマー の 最終 定理 の n = 4 の 場合 が 導か れる ） を 、 無限 降下 法 によって 示し て いる 。

たとえば 、 楕円 曲線 の 有理 点 の なす 群 が 有限 生成 アーベル 群 で ある こと を 主張 する モーデル の 定理 の 証明 に は 、 有理 点 の 高 さ に関する 、 無限 降下 法 と 似 た 議論 が 用い られる 。

カット 除去 定理 （ カット じ ょきょていり 、 Cut - elimination theorem ） は 、 シークエント 計算 の 手法 の 重要 性 を 示す 、 数理 論理 学 の 主要 な 結果 の ひとつ で ある 。

（ 数理 論理 学 の ） 基本 定理 と 呼ぶ こと も ある 。

カット 除去 定理 は 、 シークエント 計算 の 推論 規則 で ある カット 規則 を 用い て 証明 可能 な 式 に は 、 カット 規則 を 用い ない 証明 図 も また 必ず 存在 する こと を 示し た もの で ある 。

カット 除去 定理 は 、 ある 論理 体系 で カット 規則 を 使っ て 証明 可能 な シークエント は 、 この 規則 を 使わ ず とも 証明 可能 で ある こと を 示し た もの で ある 。

その シークエント が 定理 で ある とき 、 カット 除去 定理 は 、 単に 、 その 証明 の 過程 で 使わ れ た 補題 C を インライン 化 できる こと を 示し て いる 。

すなわち 、 定理 の 証明 が 補題 C を 使っ て いる 場合 、 その 箇所 を 全て C の 証明 に 置き換える こと で 、 新しい 完全 な 証明 図 を 与える こと が できる という こと で ある 。

この 定理 を 応用 し て 、 様々 な 派生 的 結果 を 示す こと が できる 。

カット 除去 は 、 クレイグ の 補間 定理 を 証明 する 際 に 強力 な 道具 と なる 。

この 定理 は ペレルマン は 証明 なし で 開始 し て いる 。