偏 微分 方程式 や 特異 積分 、 補間 定理 の 研究 で 知ら れる 。

1941 年 （ 昭和 16 年 ） に 不動点 定理 を 発表 。

角谷 の 不動点 定理 は ブラウワー の 不動点 定理 を 一般 化 し た もの で あっ た 。

経済 学 や ゲーム 理論 において 、 角谷 の 不動点 定理 は 現在 でも 頻繁 に 使わ れ て いる 。

特に 、 ゲーム 理論 において は ナッシュ 均衡 の 存在 を 示す ため に 、 経済 学 において は 一般 均衡 解 の 存在 を 示す ため に 、 角谷 の 不動点 定理 は 決定的 な 役割 を 果たし た 。

確率 過程 に対して は その スペクトル 密度 （ ウィーナー ＝ ヒンチン の 定理 より 、 これ は 相関 関数 の フーリエ 変換 に 等しい ） を 求める こと を スペクトル 解析 と 呼ぶ 。

その後 フェリックス・クライン ら によって 、 19 世紀 の 終わり にかけて （ 一変 数 の ） 保 型 形式 の 概念 が 理解 さ れる よう に なり 、 { 仮 リンク | エーリッヒ・ヘッケ | en | Erich Hecke }( Erich Hecke ) によって 1925 年 頃 から 、 また 1960 年代 に 、 数 論 から の 需要 、 とくに （ かつて 「 谷山 ・ 志村 予想 」 と 呼ば れ た ） モジュラー 性 定理 の 定式 化 において 、 モジュラー 形式 の 深い 関わり が 明らか に さ れ た 。

背景 に は 「 2 つ の 平方 数 の 和 で 表せる 素数 は 2 と 4 n + 1 の 形 の もの に 限る 」 という フェルマー の 二 平方和 定理 が ある 。

1847 年 、 ガブリエル・ラメ は この 方針 で フェルマー の 最終 定理 を 証明 し た と 宣言 し た 。

チャーチ （ 1936 a 、 1936 b ） と チューリング （ 1936 ） は ゲーデル の 不完全性 定理 の 証明 （ 1931 ） で 用い られ た 技法 に 触発 さ れ 、 それぞれ 独立 に 、 ダフィット・ヒルベルト が 1928 年 に 提示 し た Entscheidungsproblem （ 決定 問題 ）( en ) が 有効 に 決定 でき ない こと を 示し た 。

1970 年 、 ユーリ ・ マチャセビッチ は マチャセビッチ の 定理 ( en ) を 証明 し 、 その 系 として ヒルベルト の 第 10 問題 が 有効 な 解法 を 持た ない こと を 示し た 。

任意 の 集合 の チューリング ジャンプ は 、 元 の 集合 より チューリング 次数 が 常に 高く 、 Friedburg の 定理 によって 、 停止 問題 を 計算 する 任意 の 集合 は 別 の 集合 の チューリングジャンプ と なる こと が 示さ れ て いる 。

ポスト の 定理 は 、 チューリング ジャンプ と 算術 的 階層 （ 算術 における 定義 可能 性 に 基づい て 自然 数 の 部分 集合 を 分類 し た もの ） と の 密接 な 関係 を 示し て いる 。

Shore と Slaman ( 1999 ) の 深い 定理 に よれ ば 、 次数 x を その チューリング ジャンプ の 次数 に 変換 する よう な 関数 は 、 チューリング 次数 の なす 半 順序 の 中 で 定義 できる 。

ライス の 定理 は 、 すべて の 自明 で ない クラス C （ 帰納的 可算 集合 も 含む が 全体 で は ない ） において 、 インデックス 集合 E = { e : e 番目 の 帰納的 可算 集合 We が C に 含ま れる } が ある とき 、 停止 問題 か その 補 問題 が E に 多 対 一 還元 可能 という 属性 を 持つ こと を 示す （ すなわち 、 C は E に 多 対 一 還元 可能 ） 。

逆 数学 の プログラム は 、 二 階 算術 の 中 の 部分 体系 において 、 ある 定理 を 証明 する のに どの 程度 の 集合 存在 公理 が 必要 か を 問う もの で ある 。

その よう な 関係 性 を 正確 に 示す 一 例 が ポスト の 定理 で ある 。

より 弱い 関係 性 として 、 例えば クルト ・ ゲーデル が 不完全性 定理 の 証明 の 中 で 示し た 例 が ある 。

同様 に 、 タルスキ の 定義 不可能 性 定理 ( en ) は 定義 可能 性 と 計算 可能 性 の 両方 の 言葉 で 解釈 する こと が できる 。

逆 数学 の 研究 プログラム は 、 よく 知ら れ た 数学 的 定理 に 内在 する 計算 不可能 性 を 測る 尺度 として これら の 体系 を 用いる 。