この よう な 言語 が 正規 言語 で は ない こと を 証明 する に は 、 マイ ヒル - ネローデ の 定理 か 反復 補題 ( Pumping Lemma ) を 使う 。

代表 作 『 エチカ 』 は 、 副題 の 「 幾何 学 的 秩序 によって 論証 さ れ た 」 という 形容 が 表し て いる よう に 、 なに より その 中身 が 如実 に 示し て いる よう に 、 ユークリッド の 『 幾何 原論 』 を 髣髴 と さ せる 定義 ・ 公理 ・ 定理 ・ 証明 の 一大 体系 で ある 。

この よう な 数学 で は いかに 本質 的 な 概念 なり 定理 なり を 得 て いかに 体系 的 な 数学 を 構築 する か が 重要 視 さ れ て おり 、 数学 的 対象 を 記述 する の に 適し た 概念 や 空間 を 定義 し たり 、 数学 的 事象 を うまく 表現 し た 定理 を 得 たり する こと が 数学 者 の 主 な 仕事 で ある 。

上 の 定理 から 、 木 に は 必ず 端末 点 が あり 、 その 端末 点 を 除去 する と 位 数 の 一つ 小さい 木 が 得 られる 。

ベイズ の 定理 に 依拠 する 主観 確率 の 考え方 は 母集団 の 前提 を 必要 と せ ず 不完全 情報 環境 下 で の 計算 や 原因 の 確率 を 語る など 、 およそ 在来 統計 学 と は 正反対 の 立場 に 立つ ため 、 その 当時 在来 統計 学派 は ベイズ 統計 学派 の こと を 『 ベイジアン 』 と 名付け て 激しく 対立 し た 。

例えば 直交 座標 平面 上 の 任意 の 点 の 原点 から の 距離 は ピタゴラス の 定理 によって 与え られる が 、 これ は 解析 幾何 学 において は 公理 で ある 。

数学 者 にとって 公理系 が 論理 的 に 不完全 で あれ ば 、 正しい 方法 で 証明 し た はず の 定理 から も 矛盾 が 出 て しまう ため 、 これ が 恐れ られ 一時期 盛ん に 矛盾 し ない 理想 の 公理系 の 探求 が 行わ れ た わけ で ある 。

の よう な 定理 として 導い た という 意味 で 革命 的 で あっ た 。

19 世紀 前半 まで は 「 全て の 連続 関数 は 有限 個 の 点 を 除き 微分 可能 で ある 」 という 定理 ( アンペール の 定理 ) が 無条件 に 成立 する で あろ う という 「 神話 」 が 信仰 さ れ て い た の で ある が 、 これ が 全く の 嘘 で ある と 認識 さ れる に は 長い 時間 が 必要 で あっ た 。

複素 解析 学 は 楕円 関数 や 素数 定理 とも 関連 し 、 幅広い 応用 を もち 現代 で は 物理 や 工学 において も 必須 の 概念 と なっ て いる 。

しかしながら 、 系 の 平衡 状態 を 統計 力学 的 に 記述 し 、 系 の 状態 の 遷移 について は 熱 力学 によって 記述 する といった よう に 、 一つ の 現象 や 定理 に対して 両者 の 結果 を 援用 する という こと は しばしば 行わ れ て いる 。

この 企業 は コンピュータ の プログラム 製造 を 商業 化 し た ソフトウェア 企業 の よう に 、 数学 の 定理 を 製造 する こと を 商業 化 し た 会社 で ある 。

より 成功 し た 成果 として 、 ピタゴラス の 定理 の 標準 的 証明 が あり 、 100 以上 存在 し た 既存 の 証明 群 を 置換 し た 。

ブロッホ の 定理 に よる と 、 結晶 中 の 電子 の 波動 関数 ( 結晶 中 の 電子 の 電子 状態 ) は 、 波数 と 呼ば れる 量子 数 によって 指定 さ れる 。

自動 定理 証明 系 において 、 証明 の 道筋 を 関数 として 記述 する ため の メタ 言語 として 生まれ た という 経緯 を 持ち （ # 歴史 の 節 を 参照 ） 、 名前 は その こと に 由来 する 。

デイナ・スコット の 提案 し た PPLAMBDA という 論理 体系 を 利用 し 、 ロビン・ミルナー は LCF （: en : Logic for Computable Functions ） という 証明 の チェック や 定理 の 自動 証明 を する システム を 実装 し た 。

VHS 等 、 アナログ 式 の 場合 は 電荷 量 に 応じ て 信号 の 強弱 を 記録 媒体 に 記録 する （ シャノン ＝ ハー トレー の 定理 ） 。

しかし クルト ・ ゲーデル が 、 無矛盾 の 論理 系 は 不完全 で 、 完全 な 系 は 自己 無矛盾 で は ありえ ない こと を 証明 し た （ ゲーデル の 不完全性 定理 ） 。

これ に は 多様 体 、 接 束 、 余 接 束 、 外 微分 、 p - 次元 部分 多様 体 上 の p - 形式 の 積分 、 ストークス の 定理 、 ウェッジ 積 、 リー 微分 など の 研究 が 含ま れる こと に なる 。

ある 種 の 位相 多様 体 は 滑らか な 構造 を 持ち 得 ない （ ドナルドソン の 定理 ） し 、 ある 種 の もの は 相 異なる 複数 の 滑らか な 構造 を 持ち うる （ 例えば 異種 球面 ） 。